確率の問題

質問

確率の問題を解きたいのですが、高校を卒業してしばらく数学から離れたためまったく分からないので解法と答えを教えてください。

問題はA、B、Cと箱が三つ有り
Aは赤玉8個白玉2個　Bは赤球4白玉6個　Cは赤球2個白玉8個の割合で入ってる。
(1)　箱を一つランダムで選び、二個ランダムに取り出す。（元には戻さない）　その取り出した玉が赤球1個白玉1個の組み合わせだった。このとき選んだ箱がAの確率、Bの確率、Cの確率を求める。
(2)　(1)の状況後、その時選んだ箱を捨て、残った箱2つから１つをランダムに選ぶ。このとき新しく選んだ箱が結果的にAの箱であるか確率は、(1)で述べた状況が起きた時点で判断して、いくらになるか
よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

「事前確率」「事後確率」について、本などで調べてみることを勧めます。

（１）
箱Ａを選び、かつ、赤球１個白玉１個を取り出す確率は、
　( Ａを選ぶ確率 1/3 ) × ( Ａから赤白を取り出す確率 (8・2)/(10Ｃ2) ) = 16/135。
箱Ｂを選び、かつ、赤球１個白玉１個を取り出す確率は、
　( Ｂを選ぶ確率 1/3 ) × ( Ｂから赤白を取り出す確率 (4・6)/(10Ｃ2) ) = 24/135。
箱Ｃを選び、かつ、赤球１個白玉１個を取り出す確率は、
　( Ｃを選ぶ確率 1/3 ) × ( Ｃから赤白を取り出す確率 (2・8)/(10Ｃ2) ) = 16/135。

取り出した玉が、赤球１個白玉１個であったということは、
この三つの場合のうち、どれかが起こったということになる。
では、どれが起こっていたかというと…
選んだ箱がＡであった確率は、(16/135) ÷ { (16/135) + (24/135) + (16/135) } = 2/7。
選んだ箱がＢであった確率は、(24/135) ÷ { (16/135) + (24/135) + (16/135) } = 3/7。
選んだ箱がＣであった確率は、(16/135) ÷ { (16/135) + (24/135) + (16/135) } = 2/7。

（２）
最初に選んだ箱がＡで、新しく選んだ箱もＡである確率は、0。
最初に選んだ箱がＢで、新しく選んだ箱がＡである確率は、
　( 最初の箱がＢだった確率 3/7 ) × ( 残りの箱からＡを選ぶ確率 1/2 ) = 3/14。
最初に選んだ箱がＣで、新しく選んだ箱がＡである確率は、
　( 最初の箱がＣだった確率 2/7 ) × ( 残りの箱からＡを選ぶ確率 1/2 ) = 2/14。

新しく選んだ箱が結果的にＡとなる確率は、0 + (3/14) + (2/14) = 5/14。

お礼

非常に分かりやすく参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.3

hisappy

＃１です。
ＣとＰの計算間違いをしていました。
なので、私の回答は完全に間違いです。
すみません。。。

回答No.1

hisappy

記述されている問題文の解釈の違いで変わってきますので
正解とは異なるかもしれませんが・・・
特に、取り出した玉が赤赤、白白だった場合の扱い方が
１．そのままもう一度２つ取り出す。
２．箱を選びなおす。
などのように、どうするかで計算式が変わってきたりもします。
そのうえでの私の答えは、

（１）
・取り出した玉の影響を考慮しなかった場合。
箱を選んだ時点でどの箱なのかが決まるのでＡ、Ｂ、Ｃの確立は共に三分の一。

・取り出した玉の影響を考慮した場合。
（但し、取り出した１回目で赤、白だった場合。）
箱の中の１０個の玉から２個取り出した結果、赤と白となる確立は
元の箱がＡだった場合、（８＊２）／１０Ｃ２で１６／９０
つまり約０．１７８。
同様にＢだと（４＊６）／１０Ｃ２で２４／９０。約０．２６７。
Ｃだと（２＊８）／１０Ｃ２で１６／９０。約０．１７８。
３つ（Ａ、Ｂ、Ｃ）を足しても１（つまり確立１００％）にならないのは、
赤赤や白白の場合があるため。
またこの時、最初にどの箱を選ぶかの条件は一緒のため
計算には影響しない・・・はず。。。

（２）
・取り出した玉の影響を考慮していない場合。
１つ目の箱がＡ、２つ目の箱がＢ、略してＡＢとなる組み合わせに始まって、
ＡＣ、ＢＡ、ＢＣ、ＣＡ、ＣＢの６パターン。
この内、２つ目がＡとなるのは２通りなので六分の二。つまり三分の一。

・取り出した玉の影響を考慮してみた場合。
考慮していない場合の６パターンに、（１）で求めた各箱の確立が絡んでくるので、
ＢＡだった場合の　０．２６７＊０．１７８　と
ＣＡだった場合の　０．１７８＊０．１７８　を足し合わせたもの。
実際には計算はできるだけ正確にした方が良いので、それぞれ
（２４／９０）＊（１６／９０）＋（１６／９０）＊（１６／９０）の
０．０００００９７５
一見かなりありえないような値になっていますが、
１．１つ目の箱から（最初に）取り出した玉２つが赤、白だった。
２．２つ目の箱から（最初に）取り出した玉２つが赤、白だった。
３．そのうえで、その２つ目の箱がＡである確立。
なのでそのくらいの値です。
１つ目の玉が赤赤だったとか、２つ目の玉が白白だったとか
２つ目の箱はＣだったとかのすべての確立を求めて足したら
ちゃんと１（１００％）になるはずです。

本当にそうなのだろうかと自分でも不安なので、自信無しです。