よく似た確率の問題なのになぜ答えが違うのでしょうか

質問

問1 A,B,Cの3人に8個のa,b,c,d,e,f,g,hを分ける。1個もしなものをもらわない人がよいとすると品物を分配する方法は何通りあるか。
答1 3の8乗=6561

問2 8個のa,b,c,d,e,f,g,hを区別のつかない3つの袋に入れる。空の袋があってもよい場合は何通りあるか。

答2 3の8乗=6561/3!と思ったら

3の8乗=6561通りのうち、空の袋が2つある場合は(区別して数えた場合の)3通りが重複し、それ以外は(区別して数えた場合の)3!=6通りずつが重複するので
3/3+6558/6=1094とある。

どう考えるとこうなのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

３つの袋を区別してＡ、Ｂ、Ｃとします。

３つの袋を区別した場合、組み合わせは「３の８乗」つまり６５６１通りです。

６５６１通りのうち「全部を１つの袋に入れる」つまり「空の袋が２つある場合」は「Ａに全部入れる」「Ｂに全部入れる」「Ｃに全部入れる」の３通りです。

袋を区別しない場合、これら３つは「同じ入れ方」ですから１通りと数えます。

「３通りの入れ方」を「１通りの入れ方」として考えるのですから、３を３で割ります。

これが式の「３／３」の部分です。

６５６１通りから３つ除外したので、残りは６５５８通りです。

袋を区別しない事にすると、袋だけを取り替えただけの入れ方は「同じ入れ方」になりますから、袋を入れ替える組み合わせの数「３！」つまり「６通り」は「同じ入れ方として１通り」として数えます。

袋の入れ替えの組み合わせ
ＡＢＣ
ＡＣＢ
ＢＡＣ
ＢＣＡ
ＣＡＢ
ＣＢＡ
の６通り。

「６通りの入れ方」を「１通りの入れ方」として考えるのですから、残りの６５５８を６で割ります。

これが式の「６５５８／６」の部分です。

なので、すべての入れ方は、２つを足した
３／３＋６５５８／６＝１０９４通り
となります。

お礼

初めての投稿でした。
こんなにわかりやすい回答ありがとうこざいました。

回答No.2

Quattro99

袋を区別した場合のすべての分配方法でA、B、Cの中身が違っていれば、袋の中身を入れ替えた場合がすべてダブっていますから3!で割ればよいことになりますが、空の袋が2つある場合は空の袋同士を入れ替えた場合はダブって数えていません。
たとえば、「a」「b」「cdefgh」という分け方は、袋を区別した場合、
A[a]B[b]C[cdefgh]
A[a]B[cdefgh]C[b]
A[b]B[a]C[cdefgh]
A[b]B[cdefgh]C[a]
A[cdefgh]B[a]C[b]
A[cdefgh]B[b]C[a]
の6通りありますが、「空」「空」「abcdefgh」という分け方は、
A[空]B[空]C[abcdefgh]
A[空]B[abcdefgh]C[空]
A[abcdefgh]B[空]C[空]
の3通りしかありません。
袋の中身が同じだとそのぶんは袋を区別した場合にもダブって数えていないわけです。
袋の中身が同じであるのは「空」「空」しかありませんから、この場合のみを別に計算すればよいことになります。

お礼

草々なる回答びっくりしました。
ありがとうこざいます。
理解できました。

回答No.1

owata-www

そのまま解答どおりの解説になってしまうのですが…

空の袋が１つか０の場合は、６通りの重複があります。これは問題ないと思います。

空の袋が２つの場合は、区別して数えた場合でも
（Ａ，Ｂ，Ｃ）：（８，０、０）or（０，８，０）or（０，０，８）の三通りしかありません、なぜなら2人の空の袋の人は区別できないからです。
ですから、解答のようになります。

お礼

回答のはやさにびっくり。
ありがとうこざいました。