無限級数 1+2+3+4+… は-1/12！？

質問

これは以前どこかで見たことがある証明問題なのですが、どこで見たか忘れてしまって……
数列の問題なんですが、何でこうなるの？？って感じで。
以下問題です。

まず、次のような３つの数を考える。
A=1+2+3+4+5+6+……
B=1-2+3-4+5-6+……
C=1-1+1-1+1-1+……

次に、
B-A=(1-2+3-4+5-6+……)-(1+2+3+4+5+6+……)
　　　=1-2+3-4+5-6+……-1-2-3-4-5-6-……
　　　=(1-1)+(-2-2)+(3-3)+(-4-4)+(5-5)+(-6-6)+……
　　　＝-4-8-12-20-24-……
　　　=-4(1+2+3+4+5+6+……)
　　　=-4A
なので、
B-A=-4A
B=-3A
A=-B/3

さらに、
C-B=(1-1+1-1+1-1+……)-(1-2+3-4+5-6+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+……-1+2-3+4-5+6-……
　　　=(1-1)+(-1+2)+(1-3)+(-1+4)+(1-5)+(-1+6)+……
　　　=0+1-2+3-4+5-……
　　　=B
なので、
C-B=B
C=2B
B=C/2

そして、
1-C=1-(1-1+1-1+1-1+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+1-……
　　　=C
なので、
1-C=C
1=2C
C=1/2

最後に、
A=-B/3=-C/6
なので、
A=-1/12

となる。

これ、高校の範囲だと絶対間違ってますよね？
この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！

あと、実はこれ、大学の知識を使うと正しい証明になるらしいのですが、残念ながら今の私の知識では果たして本当にこうなってしまうのかさっぱりわかりません。
この証明が本当に正しいのかどうか、正しいとするとどうやったら正しくなるのか、わかる方、回答お願いします！

回答No.10

siegmund · ベストアンサー

ranx さんや Mell-Lily さんの書かれているように，
発散する級数(正確に言えば，絶対収束でない級数)を安易に扱うと
おかしな結果になります．

QU さんはなかなか納得行かないところがあるようですが，ある意味で当然とも言えます．
極限の定義をきちんとしたのは Mell-Lily さんもお書きのようにコーシー(1789-1857)ですが，
それ以前は質問にあような計算がよく行われていました．
数学史に燦然と輝く大数学者のオイラー(1707-1783)ですら極限に関して
しばしば不注意(単に不注意というのは酷な気がしますが)な計算を行ったと言われています．

ibm_111 さんご指摘のように，複素数 z に対して
(1)　　ζ(z)=Σ{n=1～∞} (1/n^z)
がリーマン(Riemann)のζ関数の定義ですが，(1)が収束するのは Re(z)>1 のときだけなので
(1)の定義が有効なのもこの領域に限られます．
Re(z) は z の実数部．

　　　　　　　　　　　　　┌────Ｐ──┐
　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　┌───┼───┐　　　│
　　　　　　　　　│　　　│※※※│　　　│
　　　　　　　　　│　　　│※※※│　　　│
　　　　　　　　　│　　　└───┼───┘
　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　└──Ｑ────┘

例えば，Ｐ領域が(1)で無事に級数が収束する領域とします．
Ｂ領域で収束する他の表現で，ＰＱ共通領域でＰと同じ結果を与えるようなものを
見つけたとします．
これをもって，元の関数のＱ領域での定義とします．
これで，Ｐ領域に限られていたζ関数の定義がＱ領域まで拡張できました．
こうやってどんどん広げてゆくのが解析接続です(いろいろ注意は必要です)．

Mell-Lily さんと ibm_111 さんが指摘されておられますように，
質問の A は z=-1 に相当します．
これをζ(-1)と解釈するなら，ζ(-1) = -1/12 であることが知られています．
ただし，
1+2+3+4+5+6+… = -1/12
と書くのはどうもまずいと思います．

質問の話は大学の知識でも正しい証明にはなりません．
結果は上の意味では正しいです．

ibm_111 さんがコメントされている賞金の話は
http://www.claymath.org/prizeproblems/index.htm
の The Riemann Hypothesis に載っています．

お礼

わかりやすくまとめて頂いてありがとうございます！
しかし……難しい(汗
ある意味で正しく、ある意味で間違っている。
数学の世界では良くある事なのでしょうか。

ご紹介頂いたＨＰは英語だったので、未熟者の私にはさっぱり分かりませんでした。
とにかく、最先端数学界の片鱗に触れたような気はします。
色々、ありがとうございました。

回答No.12

hinebot

>代数的に扱えない、というのがつまり
>移項が出来ない、ということでしょうか？
>それとも、移項の証明、

>A+B=C+D
>A+B-D=C+D-D
>A+B-D=C
>A+B-D-B=C-B
>A-D=C-B

>の計算のどこかに出来ない計算がある、ということでしょうか？

無限級数では、交換法則
A+B = B+A
A・B　= B・A
が成り立たないということです。上の計算では
>A+B=C+D
>A+B-D=C+D-D
>A+B-D=C
ここまではOKですが、
>A+B-D-B=C-B
から
>A-D=C-B
はいえません。（-Dと-Bを入れ替えてます）
分配法則 A(B+C) = AB + AC はいえますけどね。

お礼

なるほど、交換法則がダメですか。
おかげでいろんな勉強が出来ました。
ありがとうございました！

回答No.11

noname#108554

もはや質問とはなんの関係もないですが、
この手の話題は大好きなので、ついつい答えてしまいます。

>鏡2枚で引力が働く、というのはものすごい事なんじゃないですか？
>新しい産業に発展するとか言う事はないんでしょうか？

すごいことですよ。今月号の「Newton」にカシミール効果がちょっと出ています。
産業利用は弱すぎて難しいようです。（現時点では）
何しろ理論的に予言されたのが、第2次大戦直後ぐらいですが、
実験的に確認されたのがここ数年ですから。

>ちなみに、もしかして、もしかしなくてもこの問題、
>大学レベルどころじゃなくないですか？

普通の数学専攻の人間はやらないでしょうね。
「解析接続」までは大学2年程度でやるでしょうが、
それのゼータ関数への応用はそれ専門の研究室に入ってから、
ということになると思います。

>ある意味で正しく、ある意味で間違っている。
>数学の世界では良くある事なのでしょうか。

よくあることです。
要は、式の意味をどう解釈するか、ですが、
立場が違えば意味も変わってきます。

数学の歴史は、洗練された概念を提出しつづける歴史でもあったわけで、
前時代には意味不明な定理・公式たちが、より上の立場からみれば、
まとめられてよりすっきりする（ただし、理解するのは難しくなる）、ということの繰り返しです。

>数論ってなんでしょう？？数学の１分野ですか？

そうです。ここでいう「数論」は正確にいうと
解析数論と呼ばれる分野で、具体的には、
素数の逆数の和は収束するのか？
双子素数は無限に存在するか？
実数以外にも、数みたいな概念があるが、それにも、
ゼータ関数のような性質を持った関数を定義できるか？
というような話題を扱っています。

この辺の話題に触れてみたいというのであれば、
ブルーバックス　吉永良正著　
「数学・まだこんなことが分からない」
をおすすめします。

お礼

へぇぇ……！
ってこの話題に深く首を突っ込むと本当に質問と関係なくなってしまうのでそろそろやめますが、
数学っていくらでもわからない事が出てきちゃいますね。
本の紹介まで…ありがとうございました。

回答No.9

hinebot

#1です。
ちゃんと説明できるか自信ないですが。

>私の中では
>2A＝2+4+6+8+……
>という概念が普通にあるんですけど

2A＝2+4+6+8+……
コレ自体は間違っておりません。極限を考えると∞になりますので
∞の場合はある程度の四則演算はできるんです。（制約はあったハズですが）
ですが、正の数aに対し、∞×a = ∞　です。
（aが負であれば　∞×a = -∞　です。）
つまり、2A = A ってことになるんです。

>順番を変えてはいけない、というのは、1=-1=0=1/2の証明のように、
>途中の項をまとめて先に計算してはいけない、という意味でしょうか？
そういうことですね。
有限級数なら大丈夫ですが、無限級数の場合は項を入れ替えてはいけません。
Aのように∞になったり、B,Cのように極限値が２つあるような場合は
代数的に扱えないわけです。

お礼

>有限級数なら大丈夫ですが、無限級数の場合は項を入れ替えてはいけません。
入れ替えてはいけない、という事はつまり、付け加えてもいけないわけでしょうか？

>Aのように∞になったり、B,Cのように極限値が２つあるような場合は代数的に扱えないわけです。
正確に意味をつかんでいる自信が無いのですが、
代数的に扱えない、というのがつまり
移項が出来ない、ということでしょうか？
それとも、移項の証明、

A+B=C+D
A+B-D=C+D-D
A+B-D=C
A+B-D-B=C-B
A-D=C-B

の計算のどこかに出来ない計算がある、ということでしょうか？

ちなみに、2A=Aと言えるなら、A/2=Aとも言えますよね？

回答No.8

noname#108554

>大学の知識を使うと正しい証明になるらしいのですが

証明は間違ってますが、結果は、ある意味で「正しい」です。

「100万ドルの賞金をかけられた数学の未解決問題」の話はご存知ですか？
そのうちのひとつ、「リーマン予想」はこれに関連した話題です。

ゼータ関数という数学の中でも、最も由緒正しい関数があるのですが、
---定義---
ゼータ(z)=Σ1/n^z
nは、1から∞まで
----------
この関数に解析接続（発散する級数から合理的に有限な値を取り出す技）という処理をすると、
ゼータ(-1)=-1/12
という値になります。

おまけその1
さらに強烈な式として、1×2×3×・・・=√(2π)
という「公式」が数論の分野では使用されているそうです。

おまけその2
これは数学の世界だけの話かというとそうでもないらしく、
「カシミール効果」は、ゼータ(-3)=1/120
を自然界で体現した効果になっています。
カシミール効果とは、真空中に鏡を平行に2枚置いておくと引力が働くという効果です。

お礼

>「100万ドルの賞金をかけられた数学の未解決問題」の話はご存知ですか？
内容までは知りませんが、存在は知ってます。
そんな中の一つだったんですね、この問題(？)。

ちなみに、もしかして、もしかしなくてもこの問題、
大学レベルどころじゃなくないですか？

>おまけその1
また強烈な……。しかも「公式」ですか！？
数論ってなんでしょう？？数学の１分野ですか？

>おまけその2
そ、それは事実ですか！！？ゼータ(-3)が自然界とどう関係しているかはわからないですが、
鏡2枚で引力が働く、というのはものすごい事なんじゃないですか？
新しい産業に発展するとか言う事はないんでしょうか？

回答No.7

Mell-Lily

極限値を厳密に定義したのは、19世紀のフランスの数学者コーシーですが、コーシーの極限値の定義によれば、上記のような計算は不可能です。ところが、リーマンのゼータ関数では、
　 ζ(-1)=1+2+3+4+…=-1/12
です。解析的接続と複素関数の知識を用いれば、この結果も、また、正しいことになります。

参考URL：

http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koramu/oira-.htm

お礼

回答、参考URLありがとうございます！
やはり可能なんですか！？
参考URLを見させていただきましたが、
またしても納得のいかないところが……。

1+X^2+X^3+X^4+……＝1/(1-X)

のくだりなんですが、少なくともX＜1でないと成り立ちませんよね。
……少し最初の質問の趣旨とは違うかもしれませんので、深くは聞かない事にします。

けどでもっ！きっと可能なんですよね！

回答No.6

a0123456789

まず、A,B,Cですが、
　　　　　　　　　　　　　　　ｎ　
A=1+2+3+4+5+6+……＝lim　　　Σi　＝∞
　　　　　　　　　　n→∞ 　i=1

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
B=1-2+3-4+5-6+……＝lim　　　Σ｛i×（-1）＾(ｎ-1)｝　発散　±∞
　　　　　　　　　　n→∞ 　i=1

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
C=1-1+1-1+1-1+……＝lim　　　Σi（-1）＾(ｎ-1)　　　　発散　0,1
　　　　　　　　　　n→∞ 　i=1

ここで、ご質問の証明に出てくるB-A,C-B,1-Cですが、正しく計算すると記載されたような等式にはなりません。(下記にB-Aの例を示します)

　　　　　　　　ｎ　　　　　　 ｎ
B-A＝(lim　　　Σi　)-(lim 　　Σ｛i×（-1）＾(ｎ-1)｝)
　　　n→∞ 　i=1 n→∞ 　i=1
　　　　　　 ｎ
　　=lim　　[Σ {i-i×（-1）＾(ｎ-1)｝]
　　n→∞ 　i=1 　　　　　　　　　　　　　　　

ここで、n=2ｋの場合
　　　　　　k
B-A=lim　　Σ　4i
　　k→∞　i=1

ここで、n=2ｋ+1の場合
　　　　　　 k
B-A=lim　　(Σ　4i)+2(2k+1)
　　k→∞　 i=1

これより、B-A=∞＝A(この式の解釈はかなり難しいですが...B-A=-4Aでも別に間違いでは無いと思いますが、その後の式の変形は間違いとなります)

ということでおかしな結果が出たのでした。

お礼

長い回答ありがとうございます。
しかし、いくら考えても、間違っているような気がするので、すこし書かせていただきます。

まずＣの式ですが、

lim<n→∞> <nΣi=1>{i(-1)^(n-1)}

（こう略記させて頂きます）とありますが、

lim<n→∞> <nΣi=1>{(-1)^(n-1)}

の間違いではないでしょうか？

また、B-Aの式はどう見ても逆だと思うのですが……。正しくは、

B-A=lim<n→∞> <nΣi=1>{i(-1)^(n-1)}-lim<n→∞> <nΣi=1>i

ではないでしょうか？とすると、

=lim<n→∞> <nΣi=1>{i(-1)^(n-1)-i}

となり、n=2K+1の時、

lim<k→∞> <kΣi=1>(2i-2i)=0

となり、n=2kの時、

lim<k→∞> <kΣi=1>(-2i-2i)=-4lim<k→∞> <kΣi=1>i=-4A

となります。

ちなみに、その後の式の変形とは、

B-A=-4A
B=-3A
A=-B/3

の移項の部分でしょうか？

回答No.5

ranx

「ここが間違っている」ということで言えば、
「次のような３つの数を考える」というところが間違いですね。
Ａ・Ｂ・Ｃの式は他の方々が書かれているように、いずれも収束しません。
ですから、Ａ・Ｂ・Ｃはいずれも「数」ではないのです。
ありもしない数を存在するかのように文字で表し、代数的に扱っているのが
そもそもの間違いです。

お礼

回答ありがとうございます！
確かにA・B・Cはある１つの数にはならなそうですね。
しかし、級数である事は否定できなくないですか？
とすると級数を代数的に扱ってはいけない理由が見えてこないんですが……。

回答No.4

TK0318

3連続失礼します。

＞・・・と続く式は四則演算してはいけません。
正確に言うと「位置を入れ替えて」ですね。

Cの式で有名な１＝－１＝０＝１/２が証明できますよ。

１/２は証明できているので置いといて
C=1-1+1-1+1-1+……
=(1-1)+(1-1)+(1-1)+……
=0
C=1-1+1-1+1-1+……
=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+……
=1
C=1-1+1-1+1-1+……
=-1+1-1+1-1+1-……
=-1+(1-1)+(1-1)+(1-……
=-1
よって1=0=1/2=-1が証明できた！・・・なわけなくて、無限に続く式では計算する順番を変えてはいけません。そうしないとこんな事になっちゃいます＾＾；

ちなみにこのCの答えを求める問題は18世紀に大激論になった問題です。これを解がないと解いたのはコーシーらしいです。

下で自信ありとか答えているし・・・＾＾；

お礼

回答ありがとうございます！

順番を変えてはいけない、というのは、1=-1=0=1/2の証明のように、
途中の項をまとめて先に計算してはいけない、という意味でしょうか？

順番を変えて計算するとなんとも不可思議な計算結果がでて来るのはわかりましたが、
計算ができない、その根拠はなんなのでしょうか？

つまり不可思議な計算結果になるから、数学的に禁止されている、とかでしょうか？個人的にはこの計算方法のどこが間違っているのか良く理解できないのですが……。ちゃんとした計算のもとに出てきた答えはいくら不可思議でも正しい答えだと思うのですが……。

私の中では
2A＝2+4+6+8+……
という概念が普通にあるんですけど、こっから既に間違っているんでしょうか？

回答No.3

TK0318

失礼、間違えた＾＾；
＞そもそもA,B,Cの式は収束しないので無限大です。
間違いで
A,B,Cの式は収束しないです。Aの式はあきらかに無限大になります。

でした。

お礼

回答ありがとうございます！
下と同じく上に書かせていただきます。

回答No.2

TK0318

そもそもA,B,Cの式は収束しないので無限大です。

＃１の書かれているように・・・と続く式は四則演算してはいけません。

＞この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！
よって全部です。

＞大学の知識を使うと正しい証明になるらしいのですが
そんな事ないです。
1-C=1-(1-1+1-1+1-1+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+1-……
　　　=C
は間違っているのは明らかですし。

お礼

回答ありがとうございます！
訂正が上に書かれているので上にまとめて書かせていただきますね。