下記の数列は素数が無限個ですか？教えて下さい。

質問

５に６を次、次プラスして
　　5．11.　17．23．29.　35．41.　47．53．59．65．71．77　　～
と言う数列を考えた時この数列は素数の数は無限個ですか？証明方法が有りましたら下げて教えて下さい。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

まず5以上の素数を6で割った余りは1または5(6n+1型か6n+5型のどちらか)であることを注意しておきます。
その数列(6で割った余りが5である数列)の中にある素数が有限個であるとしてそれをp1,p2,p3,...,pnとします。ここでp=6(p1p2p3...pn)+5を考えます。
pは2でも3でも割り切れることはなく，さらにp1,p2,p3,...,pn(6n+5型の素数のすべて)のどれでも割り切れませんから，pが素因数分解できたとして，そのときに出て来る素数は必ず6n+1型です。そうすると6n+1型の素数の積であるpも6n+1型ということになります。
ところがpの作り方から明らかにpを6で割ると余りが5であって，矛盾しています。
つまりその数列(6で割った余りが5である数列)の中にある素数が有限個であるのは誤りだということですね。

お礼

何とか理解できそうです。
回答ありがとうございました。

回答No.4

Water_5

5．11.　17．23．29.　【35】．41.　47．53．59．【65】．71．【77】

単純な数列なのに意外と素数が多く存在する。
しかも、それ以降も素数は存在するのか？
しないのか？

わかりません。

お礼

私にも分かりませんでした。
ありがとうございました。

回答No.2

tmpname

Dirichletが1837年に初めて証明した「算術級数定理」というのがあって、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E7%B4%9A%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
今の場合5と6が互いに素なので、今の数列の中に素数は無限個あります（因みに素数でないものも無限個あります）。
「算術級数定理」自体の証明はかなり難しいです。適当な本を読むかしてください。

お礼

院生レベルですか？私では、ジャンプしても無理です。
回答ありがとうございました。

回答No.1

mshr1962

>下記の数列は素数が無限個ですか？教えて下さい。
上記の数値のうち35(5×7),65(5×13),77(7×11)は素数じゃないですよね。

お礼

ありがとうございました。