無限級数 1+2+3+4+… は-1/12！？

質問

これは以前どこかで見たことがある証明問題なのですが、どこで見たか忘れてしまって……
数列の問題なんですが、何でこうなるの？？って感じで。
以下問題です。

まず、次のような３つの数を考える。
A=1+2+3+4+5+6+……
B=1-2+3-4+5-6+……
C=1-1+1-1+1-1+……

次に、
B-A=(1-2+3-4+5-6+……)-(1+2+3+4+5+6+……)
　　　=1-2+3-4+5-6+……-1-2-3-4-5-6-……
　　　=(1-1)+(-2-2)+(3-3)+(-4-4)+(5-5)+(-6-6)+……
　　　＝-4-8-12-20-24-……
　　　=-4(1+2+3+4+5+6+……)
　　　=-4A
なので、
B-A=-4A
B=-3A
A=-B/3

さらに、
C-B=(1-1+1-1+1-1+……)-(1-2+3-4+5-6+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+……-1+2-3+4-5+6-……
　　　=(1-1)+(-1+2)+(1-3)+(-1+4)+(1-5)+(-1+6)+……
　　　=0+1-2+3-4+5-……
　　　=B
なので、
C-B=B
C=2B
B=C/2

そして、
1-C=1-(1-1+1-1+1-1+……)
　　　=1-1+1-1+1-1+1-……
　　　=C
なので、
1-C=C
1=2C
C=1/2

最後に、
A=-B/3=-C/6
なので、
A=-1/12

となる。

これ、高校の範囲だと絶対間違ってますよね？
この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！

あと、実はこれ、大学の知識を使うと正しい証明になるらしいのですが、残念ながら今の私の知識では果たして本当にこうなってしまうのかさっぱりわかりません。
この証明が本当に正しいのかどうか、正しいとするとどうやったら正しくなるのか、わかる方、回答お願いします！

回答No.10

siegmund · ベストアンサー

ranx さんや Mell-Lily さんの書かれているように，
発散する級数(正確に言えば，絶対収束でない級数)を安易に扱うと
おかしな結果になります．

QU さんはなかなか納得行かないところがあるようですが，ある意味で当然とも言えます．
極限の定義をきちんとしたのは Mell-Lily さんもお書きのようにコーシー(1789-1857)ですが，
それ以前は質問にあような計算がよく行われていました．
数学史に燦然と輝く大数学者のオイラー(1707-1783)ですら極限に関して
しばしば不注意(単に不注意というのは酷な気がしますが)な計算を行ったと言われています．

ibm_111 さんご指摘のように，複素数 z に対して
(1)　　ζ(z)=Σ{n=1～∞} (1/n^z)
がリーマン(Riemann)のζ関数の定義ですが，(1)が収束するのは Re(z)>1 のときだけなので
(1)の定義が有効なのもこの領域に限られます．
Re(z) は z の実数部．

　　　　　　　　　　　　　┌────Ｐ──┐
　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　┌───┼───┐　　　│
　　　　　　　　　│　　　│※※※│　　　│
　　　　　　　　　│　　　│※※※│　　　│
　　　　　　　　　│　　　└───┼───┘
　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　└──Ｑ────┘

例えば，Ｐ領域が(1)で無事に級数が収束する領域とします．
Ｂ領域で収束する他の表現で，ＰＱ共通領域でＰと同じ結果を与えるようなものを
見つけたとします．
これをもって，元の関数のＱ領域での定義とします．
これで，Ｐ領域に限られていたζ関数の定義がＱ領域まで拡張できました．
こうやってどんどん広げてゆくのが解析接続です(いろいろ注意は必要です)．

Mell-Lily さんと ibm_111 さんが指摘されておられますように，
質問の A は z=-1 に相当します．
これをζ(-1)と解釈するなら，ζ(-1) = -1/12 であることが知られています．
ただし，
1+2+3+4+5+6+… = -1/12
と書くのはどうもまずいと思います．

質問の話は大学の知識でも正しい証明にはなりません．
結果は上の意味では正しいです．

ibm_111 さんがコメントされている賞金の話は
http://www.claymath.org/prizeproblems/index.htm
の The Riemann Hypothesis に載っています．

お礼

わかりやすくまとめて頂いてありがとうございます！
しかし……難しい(汗
ある意味で正しく、ある意味で間違っている。
数学の世界では良くある事なのでしょうか。

ご紹介頂いたＨＰは英語だったので、未熟者の私にはさっぱり分かりませんでした。
とにかく、最先端数学界の片鱗に触れたような気はします。
色々、ありがとうございました。

回答No.1

hinebot

>この証明のここが間違ってる！っていうのがわかる方、ぜひ教えてください！

恐らくですが。
BとCの級数は収束？しません。
つまり、偶数項で止めたときと奇数項で止めたときで値が異なるので
一般項が項数によって異なります。
従って、単純に四則計算できません。
これが間違いの原因だと思います。

お礼

即回答ありがとうございます！
なるほど、級数を数として扱う事に無理があった、という事でしょうか？
しかし、無限級数として考えると計算自体は間違っていない気がするのですが……
B-Aは-4(1+2+3+…)ですし、1+2+3+…はAなのですから。
それともこの考え方が何か間違っているのでしょうか？