数III、無限数列、無限級数

質問

点Oを中心とする半径αの円において,中心角θ(O<θ<π/2)の扇形
OAoBoを考える. OAoからOBoに下ろした垂線をAoB1とし, B1を通り弦
AoBoに平行な直線とOAoとの交点をA1とする.同様に, A1からOBoに
下ろした垂線をA1B2とし, B2を通り弦AoBoに平行な直線とOAoとの交
点をA2とする.この操作を繰り返して,線分OA。上に点A1, A2, A3,…
を,線分OBo上に点B1, B2, B3,… を定める,0以上の整数nに対して,
線分OAn, AnBn+1の長さをそれぞれαn, bn.とし,△AnBnBn+1の面積を
Snとするとき,次の問いに答えよ.

(1)an=αcos^nθ, b糖=αcos^nθsinθ を示せ.

(2)Σ[∞、n=0]Sn=a^2tanθ/2を示せ.

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

(1) 問題文より
a[0] = a,
図より
a[n+1] = a[n]cos θ,
b[n] = a[n]sin θ,
n = 0, 1, 2, ...
である．

※問題文においてαとaが混同されているように思えるので
全てaに統一しました．

上の漸化式より数列{a[n]}は初項 a[0] = a，
公比cos θの等比数列である：
a[n] = a cos^n θ.

また，
b[n] = a[n]sin θ = a cos^n θ sin θ.

(2) 図より，△A[n]B[n]B[n+1]は
底辺の長さb[n]，高さ(a[n] - a[n+1])の直角三角形であり
その面積は
S[n]
= (1/2)b[n](a[n] - a[n+1])
= (1/2)a cos^n θ sin θ・a cos^n θ(1 - cos θ)
= (a^2/2)sin θ(1 - cos θ)cos^(2n) θ.

{S[n]}は公比cos^2 θの等比数列であり，
0 < θ < π/2 より0 < cos^2 θ < 1.

Σ[n=0,∞] S[n]
= (a^2/2)sin θ(1 - cos θ)Σ[n=0,∞]cos^(2n) θ
= (a^2/2)sin θ(1 - cos θ)・1/(1 - cos^2 θ)
= (a^2/2)(1 - cos θ)/sin θ
= (a^2/2)tan(θ/2).

最後の変形には半角公式を用いた．

> (2)Σ[∞、n=0]Sn=a^2tanθ/2を示せ.

多分，これはおかしい．
なぜなら，△A[n]B[n]B[n+1]を n = 0 から順に敷き詰めていっても，
全ての三角形は重ならずに△OA[0]B[0]に収まるから，
Σ[n=0,∞] S[n]は△OA[0]B[0]の面積を超えないはず．

もし，級数の値が a^2 tan(θ/2) なら，
θ = π/3 のときその値が a^2/√3 = √3 a^2/3 となるが，
これは θ = π/3 のときの△OA[0]B[0] (正三角形)の
面積√3 a^2/4 よりも大きい．

私が得た結果の級数の値 (a^2/2)tan(θ/2) なら
θ = π/3 のとき a^2/(2√3) = √3 a^2/6 となり，
△OA[0]B[0] (正三角形)の面積を超えない．

まあ，私も計算ミスしてるかもしれませんから，検算お願いします(苦笑)．

お礼

ご回答ありがとうございました。
まず最初に（２）の証明は ご指摘通り、Σ[n=0,∞] S[n]＝(a^2/2)tan(θ/2)を証明する問題でした。すみませんでした。
解説は詳しく書いてあって納得できました。
あと図の方も効率的な図の描き方が分からなかったので参考になりました。
貴重な時間を割いていただきありがとうございました。