無限等比級数について

質問

いつかの月刊大学への数学の読者ページに載っていたものですが、

A=1+2+4+8+16+32+・・・・・・　　とすると・・・
=1+2(1+2+4+8+・・・・・・
=1+2A
A=1+2A
A=-1/2

となり、明らかに間違った結果が得られます。
勘ではカッコでくくる所に問題があるのだろうと思いますが、なぜ間違っているのかが分かりません。

別のパターンでもやってみました。
B=1+√2+2+2√2+4+・・・・・・
=1+√2(1+√2+2+2√2+・・・・・・
=1+(√2)B
B=-√2-1
となり、これも間違っています。

C=1+1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・・・
=1+1/2(1+1/2+1/4+1/8+・・・・・・
=1+1/2C
2C=2+C
C=2
となり、これは合っています。

上のような現象が起こるのはなぜなのでしょうか？

回答No.3

dreamnstd · ベストアンサー

結論から言うと、それらは全て「正しいとも取れる」と言えます。
厳密な事を言うのは大変なので、大雑把に説明します。

実例を示す簡単な例として、初項 A=9, 項比 r=10 の等比数列を考えます。
その和 S は
S = 9 + 90 + 900 + 9000 …
となります。もちろんこれは発散してしまうのですが、数が具体的にわかっているのでこう書いてしまいます。
S = ………9999999.
「………」が数字の左側にあることに注意してください。
言うまでも無くこれは桁が上方向に無限にある事を示してます。
便宜上これからこれを T とおきます。
T := ………9999999.

さて、質問者様のように式から S をくくりだしてみると
S = 9 + 10*( 9 + 90 + 900 + … )
S = 9 + 10*S
S = -1
となります。これはこのまま S でいいです。

「T と S は同じ性質を持っている」
これがこの問題の「肝」です。

S は -1 です。1を足せば 0 になります。
では、Tにも1を足してみましょう。
T + 1 = ………9999999 + 1

さて、一番下の桁に 1 を足すと 1+9=10 になりますので、繰り上がりが発生します。今の桁には「0が残ります」。
上の桁に 1 が繰り上がるので、また 1+9=10 となり、また繰り上がりが発生します。今の桁には「また、0が残ります」。

…お察しの通り、これはいつまでも繰り上がりを続け、その後には「 0 しか残りません」。
これは 無 限 級数ですので、「最後の9なんて物はありません」。
結果、「無限にある全ての桁に 0 しか残らない」のです。よって、
T + 1 = ………9999999 + 1 = ………000000 = 0

もちろん上位の桁に数字が存在していることは確かなのですが、それらは 全て 0 である事がはっきりしているので、「 0 に等しいと認めざるを得ない」という事になります。

また、経過は省略しますが、この T を二乗すると、値は確かに「 1 」になります。
筆算してみればすぐにわかります。

繰り返しになりますが、「T と S は確かに同じ性質を持っている」のです。

質問内容の
A = 1 + 2 + 4 + 8 + …… + 2 * 2^n + ……
B = 1 + √2 + 2 + 2√2 + 4 + …… + 1 * 2^(n/2) + ……
も、 A でしたら2倍すれば -1 (………9999) になるでしょうし、
B でしたら 1 を加えて二乗すれば 2 (……000002)になる事が期待されます。

(本来は10進数ではなく、基数が素数(3,5,7など)の表記法でなければ矛盾が生じるのですが、そこは、「大雑把な説明」という事で勘弁願います。)

もしよろしければ参考URLの「p進数(Wikipedia)」を参照していただければと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0

お礼

非常に分かりやすいご説明ありがとうございます。
「0 に等しいと認めざるを得ない」という説明はハッとさせられました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

Ｓ　＝　Σ[k=0→n]　ｂ・ａ^n
ａＳ　＝　Σ[k=0→n]　ｂ・ａ^n　＝　Σ[k=0→n]　ｂ・ａ^(n+1)

Ｓ　＝　ｂ・Σ[k=0→n]　ａ^n
ａＳ　＝　ｂ・Σ[k=0→n]　ａ^n　＝　ｂ・Σ[k=0→n]　ａ^(n+1)

差し引き
（１－ａ）Ｓ　＝　ｂ（ａ^0　－　ａ^(n+1)）　＝　ｂ（１　－　ａ^(n+1)）

ａ＝１でないとき
Ｓ　＝　ｂ（１　－　ａ^(n+1)）／（１－ａ）
　＝　ｂ（ａ^(n+1)　－　１）／（ａ－１）

無限級数ということは、ｎが無限まであること。
ｂ＞０であれば、
lim[n→+∞]Ｓ　＝　lim[n→+∞]ｂ（ａ^(n+1)　－　１）／（ａ－１）
　＝　lim[n→+∞] 正の定数×（ａ^(n+1)　－　定数）／正の定数
　＝　＋∞

読者ページについては、上記で言うところの ａ^(n+1)　をゼロに近づくものとして扱っていることに問題があります。
（ゼロではなく、∞）

余談
過去質問で、こういうのがあります。
私も回答していますが、＃７様が素晴らしい投稿をされています。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3746101.html

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

shintaro-2

>勘ではカッコでくくる所に問題があるのだろうと思いますが、

そうと言えばそうなのですが、違うと思います。

Ａ，Ｂは発散するのに対し、Ｃは収束します。
結局はそこで、∞のものを２倍するというところが間違いなのだと思います。