ディレクレの話？

質問

現在、素数の話に取り掛かっているのですが

なるべく大きなkで、連続する等差数列の数an+b(n=0,1,2・・・k)がすべて素数になるような組（a,b）を探せ。
ここでa,bは互いに素である。

という問題なのですが、小さい数から色々当てはめて計算したのですが、続いて３個（a＝４b＝３の時のn=０、１、２だけ）しか素数の数列が見つかりません！

「素数が連続して続く数列など存在しないのではないか？」という結果を考えざるをえませんが、ディレクレ？という人がこの問題を解き明かしたという文献を見つけたのですが、もし本当ならばそのホームページなど教えていただけませんでしょうか？

もしくは、日本にこの問題を解けるかたがいらっしいましたら教えていただくことは可能でしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

ディリクレの算術級数定理というのがあって、「初項と公差が互いに素であるような等差数列のなかには素数が無数にある」という主張ならあります。素数が無限個連続して現れる等差数列が存在することは決してありえませんが、いくらでも長い列なら作れるだろう、という予想は確かにあります。最近解決したのかどうかは知りませんが、おそらくディリクレも証明していないと思います。未解決問題だとは思いますが・・・

参考URLにリンクを張っておきますが、
8297644387,12478210777,16658777167,20839343557,25019909947,
29200476337,33381042727,37561609117,41742175507,45922741897,
50103308287,54283874677,58464441067,62645007457,66825573847,
71006140237,75186706627,79367273017,83547839407
なんかは19個も素数が続く等差数列だそうです。最近は計算機などを使ってもっと大きなものも発見されているでしょうね。

二次式でもいいなら有名な類数1の虚二次体Q(√-163)を使って、判別式が-163になる二次式n^2+n+41なんかはn=0～39まで40個も素数が続く有名な数列ですよね。こちらはオイラーによって発見されてます。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat61.htm

回答No.2

take008

「連続しているｋ個の素数が等差数列になる」と思い違いしてませんか。
「連続しているｋ個の等差数列が素数になる」ですよ。
なお，０，１は素数ではありません．
３個の等差数列の場合，公差は ２,３の公倍数でなければなりません。
　５，11，17；　７，13，19　など
５個の場合，公差は ２,３,５ の公倍数でなければなりません。
　７，37，67，97，127 など