微分積分学の証明について

質問

こんにちは。解析について2つ質問があります。問題で数列{(n,1/n)}が
コーシー列である事を証明せよという問題と｜a+b｜≦ ｜a｜+ ｜b｜がすべての有理数において成り立つことを証明せよという問題なのですが、まだ解析学をやったことがなく何から手をつけて良いのか分かりません。なるべく詳しい解説を添えていただけたら今後のヒントにもなり嬉しく思います。お詳しい方宜しくお願いします。

回答No.2

joggingman · ベストアンサー

数列{(n,1/n)}とは、a(n)=1/n　ということでしょうか？

解析学のテキストに、定理として、

　有界な単調（減少）数列は収束列である。

　収束列はコーシー列である。また、コーシー列は収束列である。

の説明、証明が載っていますから、そこを勉強されるとわかると思います。

　本問の場合、a(n)>0で、単調減少列ということは明らかです。

絶対値の問題は、整数でも有理数でも証明は同じだと思うのですが？

補足

ご回答ありがとうございます。今定理の証明を定義を使って一つ一つ疑問の残らないようにきっちり証明する練習をしているのですが、どういう風に書けばいいのか、それとどこまで言えればいいのかが分かりません。
＞絶対値の問題は、整数でも有理数でも証明は同じ
とありますが例えば整数も有理数も同じということをどういう風に証明すればいいのかが分かりません。そこらへんを詳しく教えて頂きたいです。宜しくお願いします。

回答No.3

Tacosan

絶対値の方だけだけど, この問題で「a, b が整数だったら証明できる」んでしょうか?
できるんだったら, ほとんどそのままで終わりです.... というか, 有理数になって変わるのってどこなんだろう.
証明方法はいろいろあるけど,
・a, b がそれぞれ正か負かで場合分けする. 両方とも正 (あるいは負) のときは素直に絶対値を外して評価. 一方が正で他方が負の場合には, 「どちらの絶対値が大きいか」でさらに場合分けする.
・x ≧ 0, y ≧ 0 を仮定すると x ≦ y iff x^2 ≦ y^2 であることを使う. で, |x| ≧ x と |ab| = |a|・|b| を使う.
くらいは想像できるかな.

補足

両辺を二乗して比べてa,bが正負とかを考えることは分かるのですが、整数の時に成り立てば必ず有理数でも成り立つということはどういう風に表せばいいのかがわかりません。もしa,bが実数の場合に先ほどの絶対値の関係が成り立つとすれば、問題ないのですが。

回答No.1

Tacosan

前半: とりあえず「コーシー列」の定義を見てみる.
後半: 「絶対値を外す」方向で考える.
後半は「解析」とかのレベルに達してないと思うけどね.