経済数学の問題についてです

質問

次の問題がわかりませんでした。
どなたか回答お願いいたします。

（１）初項2、公差3の等差数列の初項第0項から第ｎ項までの和
（２）初項3、公比2/3の等比数列の初項第0項から第ｎ項までの和
（３）記号a,b,c,d,e,fから3つ選んで並べる順列の場合の数
（４）記号a,b,c,d,e,fから3つを選ぶ組み合わせの場合の数

次の公式を合成関数の微分公式と対数関数の微分公式を使って証明せよ
f(x)=x^a(aは実数)のとき、f '(x)=ax^a-1

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
S = 2 +5 + … +(2+3(n-1))+(2+3n)
S =(2+3n)+(2+3(n-1))+ … + 5 + 2 (+
________________________________________________
2S=(4+3n)+(4+3n) + … +(4+3n) +(4+3n) ← (n+1)項
2S=(n+1)(4+3n)
∴S=(n+1)(4n+3n)/2

(2)
S =3+3(2/3)+3(2/3)^2+ … +3(2/3)^n
(2/3)S= 3(2/3)+3(2/3)^2+ … +3(2/3)^n+3(2/3)^(n+1)
___________________________________________________(-
(1/3)S=3+ 0 + 0 + … + 0 -3(2/3)^(n+1)
S/3 =3 -3(2/3)^(n+1)
∴S =9{1-(2/3)^(n+1)}

(3)
記号が6個あり、最初は6個の中から1つ選ぶ。次に残った5個から1つ選ぶ。次に残った4個から1つ選ぶ。これで3個の記号を選べる。
選べる通り数は
　P=6×5×4=120
これを順列では
　6P3=6!/3!=6×5×4=120
と計算します。

(4)
6個の記号の中から3個選ぶ選び方の組合せ数Nは、
組合せの記号を使うと
　N=6C3=6!/(3!3!)=(6×5×4)/(3×2×1)=20

(5)
公式b^a=e^(a*log_e(b))を用いて
f(x)=x^a　=e^(a*log_e(x)) ...(★)

指数関数と対数関数の微分公式、および合成関数の微分公式を用いて
f '(x)={e^(a*log_e(x))}*(a*log_e(x))'
={e^(a*log_e(x))}*a*(log_e(x))'
={e^(a*log_e(x))}*a*(1/x)
(★)の公式を逆に使って
= {x^a}*a*x^(-1)
= a*x^(a-1)
(証明終り）

お礼

複数の質問にも関わらず丁寧に教えていただきありがとうございました。