余りについての考え方（数的処理）

質問

こんばんは。

数的処理の基本的な問題について質問致します。。。。。。。

９の５乗を７で割った余りは４。
９の７乗を７で割った余りは２。
では、９の１２乗を７で割った余りはいくらか。

このような問題です。

解答欄を見てみますと。。。。。。。。

９の５乗×９の７乗＝９の１２乗－－－(1)

９の５乗＝７ｍ+４
９の７乗＝７ｎ+２

と、表せる。

これらを(1)に代入。

９の１２乗＝（７ｍ+４）（７ｎ+２）
＝４９ｍｎ+１４ｍ+２８ｎ+８
＝７（７ｍｎ+２ｍ+４ｎ+１）+１

これにより、９の１２乗は「７の倍数+１」と表せる。
答えは１。

………このようになっていたのですが。。。。。。。

９の５乗を７で割った余り４を７ｍ+４、
９の７乗を７で割った余り２を７ｎ+２、
と表すのが今一つピンとこないと言いますか。。。。。。。。

７で割って余りが４で７ｍ+４と表す。。。。。。。

根本的な余りについての考え方がダメなんでしょうね。。。。。

初歩的な質問で誠に恐縮ですが、お時間のある時に教えて頂ければ幸いです。

回答No.3

noname#56760 · ベストアンサー

>>７で割って余りが４で７ｍ+４と表す。。。。。。。
ｍは整数　という条件が要りますよ。
ｍが整数でなければ成立しません。

余りについて考えて見ます。
例えば
23÷７＝３余り２です。
23個のおもちゃを7人で均等に分けたら1人3個ずつで、2個余ってしまたということです。
ということは、余るおもちゃ2個を処分してしまえば皆で均等に分けられます。
つまり
(23-2)÷７＝３

９の５乗を７で割った余りは４。
これも同じような考えて見ましょう。
おもちゃが９の５乗個ありますが7人で分けると1人ｍ個ずつで、4個余ってしまいます。
だから、おもちゃ4個を処分してしまいましょう。
つまり
（９の５乗－４)÷７＝ｍ
です。
両辺に7をかけて
９の５乗－4＝７ｍ
－4を移項して
９の５乗＝７ｍ+４
となります。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

＞ｍは整数　という条件が要りますよ。
あ、確かにそうですね。。。。。

おもちゃを分ける考え方は分かりやすかったです。

両辺に７をかけて移項する、といった詳しい説明もして頂き、理解が深まりました。

回答No.2

R_Earl

もしあなたが学校の先生で、
子供たちにわり算（と余り）を教えるなら
どんな教え方をしますか？
（もちろん絵を書いて説明するのはOKです）

例えば17÷5の答えは3あまり2ですが、

『÷5』ってなに？
『3あまり2』の3ってなに？
『3あまり2』の2ってなに？

と小学生の子供に聞かれたら、どう答えます？

そういった「小学校で習ったこと」を今考えなおしてみると、
「わられる数17」と「わる数5」と「商3」と「余り2」の
関係が分かるかもしれません。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

子どもに分かりやすく教える、という視点で考えると視野が広がった気がします。

数学の根本の部分を自分の中で問い直すことが出来ました☆

回答No.1

Mr_Holland

＞７で割って余りが４で７ｍ+４と表す。。。。。。。
＞根本的な余りについての考え方がダメなんでしょうね。。。。。

　あまり難しく考えない方がよいと思います。
　まずは、具体的な値で考えてみましょう。
　１８を７で割ることを式で表すと、次のようになりますよね。

　　１８÷７＝２・・・４

　ここで、この式を「１８＝」という形に書き換えますと、次のようになります。

　　１８＝７×２＋４

　つまり、割られる数（１８）は割る数（７）に商（２）を掛けたものに余り（４）を加えたものになるということです。

　　（割られる数）＝（割る数）×（商）＋（余り）

　さて、ここで「９の５乗を７で割った余り４を７ｍ+４」について考えてみます。
　９の５乗を７で割った時の商は、不明ですのでｍとおきますと、上の式に当てはめれば次のように書き表せます。

　　（９の５乗）＝７×ｍ＋４　＝７ｍ＋４

　これが、割る数と余りが分かっているときの立式の仕方になります。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

なるほど、具体的な数字を当てはめてみると分かりやすいですね☆

９の５乗……と書くと数字が大き過ぎてイメージが掴み難かったですが、回答者様のお陰で理解出来ました。