数的推理の問題についてです

質問

こんばんは。

数的推理について問題を解いておりましたら、以下のような問題が出て参りました。

採用試験でして、問題の持ち帰りと解答公開はされているのですが、解き方は判然としない状態でして、質問致しました。。。。。

このような問題です。

１００１の１１乗はいくらか。

試験当日は１００１を１１回かけて答えを強引に出しました（苦笑）

５択でして、
１０１１０５５１６５３３０４６２４６２３３０１６５０５５０１１００１という１番が正解でした。

８乗付近から「こんなことしてる自分は不採用だろうな。。。」と自虐的な気持ちになりながら解いていたのを思い出します（苦笑）

恐らく、公式的なものがあるのだと思うのですが、皆目見当がつきません。。。。。。。。

ご存知の方がいらっしゃいましたら、お時間のある時に教えて頂ければ幸いです。

回答No.4

Quattro99 · ベストアンサー

(a+b)^2を展開するとa^2+2ab+b^2です。それぞれの項の係数が何を意味しているのかを考えてみます。
(a+b)^2は(a+b)(a+b)であり、(a+b)を2つ掛け合わせたものです。
a^2の項は一つ目の(a+b)からa、二つ目の(a+b)からもaを取り出して掛け合わせたものですが、一つ目の(a+b)からa、二つ目の(a+b)からもaを取りだすのは一通りしかありませんから、係数は1です。
abの項について考えると、一つ目の(a+b)からaを取り出し、二つ目の(a+b)からbを取り出す場合と、その逆の場合がありますから、2通りあることになり、係数は2になります。この2通りというのは2つある(a+b)からaを取り出す(a+b)を1つ選ぶ選び方と同じことです。2つから1つを選ぶ選び方を2C1と表します（組み合わせ、combine）。

(a+b)^3を考えると、これは(a+b)を3つ掛け合わせたものです。展開したときのa^2bの係数を考えると、3つの(a+b)からaを取り出す(a+b)を2つ選ぶ選び方すなわち3C2ですが、これは3つの(a+b)からbを取り出す(a+b)を1つ選ぶ選び方と同じですから3C1でもあります。

(1000+1)^11は(1000+1)を11個掛け合わせたものです。これを展開したとき、1000^10の係数は11個の(1000+1)から1を選ぶ(1000+1)を1つ選ぶ選び方ですから11C1となります。1000^9の係数は11C2、1000^8の係数は11C3．．．となります（1000^11の係数が1なのもちろんです）。
11C1は11、11C2は55、11C3は165．．．です（この計算の仕方については「組み合わせ」で検索すれば見つかると思います）。

1000^11を1つ、1000^10も1つ、1000^9も1つ．．．これらを足し合わせた数は、
1001001001001001001001001001001000
です。
しかし、(1000+1)^11では、1000^10は1つではなく11個、1000^9は55個1000^8は165個．．．あるのですから、
1011055165・・・という数字になります。

2項定理で検索するといろいろ見つかると思います。

お礼

御解答、誠にありがとうございます。

御礼が遅くなり、誠に申し訳ありません。

とても丁寧に説明して頂き、ありがとうございます。

他に解答して下さった皆様のものと合わせて、この問題が理解出来るようになりました。

ありがとうござます。

回答No.7

Quattro99

#2、#4です。
選択問題であったなら（また、数的推理についての問題というのが明示されていたのなら）、#6さんのおっしゃるように、消去法で見つけられるようになっていたのではないかと思います。

#3さんが書かれているように区切ると対称形になっているはずだということは計算せずにわかります。
また、11C1=11は特に計算を必要としないので、1011・・・・011001であることはすぐにわかります。
ここまでのことでまだ選択肢が複数残ってしまうなら11C2等を計算していくことになるかと思います。11C2は簡単にわかりますが11C3はちょっとだけ面倒です。たぶん、11C2までで選択肢が一つに絞られるようになっていたのではないでしょうか。

お礼

御解答、誠にありがとうございます。

御礼が遅くなりまして、誠に申し訳ありません。。。

選択肢は下の御礼にも書かせて頂きましたが。。。。。

選択肢は、

１番は１０１１０５５１６５３３０４６２４６２３３０１６５０５５０１１００１。

２番は１０１１０５５１７５４３５７２７７２７４３５１７５０５５０１１００１。

３番は１０１１０８０２１５４５０７４７７４７４５０２１５０８００１１００１。

４番は１０１１１１０２７５５１５８５２８５２５１５２７５１１００１１００１。

５番は１０１１１１０９９７９７５４９５４４７９２０９９０１１００１１００１。

でした。

確かに、ある程度絞られてきますね。

誠にありがとうございます。

回答No.6

arrysthmia

数学の試験という訳ではないのでしょう？
選択式の問題だとすれば、消去法で答えが出る
ように仕組んであったのではないでしょうか。
桁数が違うとか、回文数になってないとか、
そういう変なモノを消してゆけば、正確に計算
しなくても正解が残る問題だったのでは？

お礼

御回答、ありがとうございます。

５択の内容につきましても、後日書く予定（７月に入りそうです。申し訳ありません）です。

全部、似たような数字の羅列（とっても意地の悪いテストですよね。。。。。。。笑）でした。。。。。。。

あ、確かに情報数学の分野での出題でした。

二項定理なんですね。。。。。。。

ありがとうございます。

時間の関係上、現時点においては一番上の御回答にのみ、まとめて御礼を書いておりますが、後日全部に御礼させて頂く予定です。

回答No.5

b_bb

＃4さんが詳しいですが二項定理ですね。

(x+y)^n= ΣnCr・x^r・y^n-rです。Σはr=0～r=nまで
理由は#4さんの書かれているとおりです。

今回はx=1000 y=1なので二項展開しやすいと思われます。(当然n=11)

お礼

御解答、誠にありがとうございます。

御礼が遅くなり、誠に申し訳ありません。

二項定理。。。。

学生時代、耳にしたことはあったのですが。。。。。。。

もっと勉強せねば。。。。。。。

ありがとうございます。

回答No.3

h40811

各桁を下から３つずつ区切っていくと、
(００)１，０１１，０５５，１６５，３３０，４６２，４６２，３３０，１６５，０５５，０１１，００１　となります。
実はそれぞれの数が、パスカルの三角形の１２段目だという事がお分かりになるでしょうか？繰り上がりもないので解りやすいと思います。

あと、個人的な要望ですが、他の選択肢も教えていただけないでしょうか？友人に出してみたくなりました。

お礼

御解答、誠にありがとうございます。

御礼が遅くなり、誠に申し訳ありません。

選択肢は、

１番は１０１１０５５１６５３３０４６２４６２３３０１６５０５５０１１００１。

２番は１０１１０５５１７５４３５７２７７２７４３５１７５０５５０１１００１。

３番は１０１１０８０２１５４５０７４７７４７４５０２１５０８００１１００１。

４番は１０１１１１０２７５５１５８５２８５２５１５２７５１１００１１００１。

５番は１０１１１１０９９７９７５４９５４４７９２０９９０１１００１１００１。

……です。ふう。

回答No.2

Quattro99

(1000+1)^11を展開して考えるのではないでしょうか。
1000^11 + 11C1*1000^10 + 11C2*1000^9 + ・・・+ 1^10となりますから、11C1～11C5を計算すればあとは容易に求まります。

お礼

御解答、誠にありがとうございます。

なるほど、分けて考えるのですね。

＞1000^11 + 11C1*1000^10 + 11C2*1000^9 + ・・・+ 1^10となりますから、11C1～11C5を計算すればあとは容易に求まります。

初歩的な質問で大変恐縮です。

11C1～11C5といった符号が何を指し示すのか今一つピンとこない部分があります。（申し訳ありません。。。。。。。。）

11C1。。。。。。。。。
ただ、最初の1000の11乗に残り（？）を足していくという概念のようなものは理解出来ました。

申し訳ないです。。。。。。。。

回答No.1

Tacosan

「推理」なのかなぁ? まあ 1001^11 なので「1011 ではじまる」ことはわかりますけどねぇ.... 他の選択肢を見ないとなんとも言えないです.
最悪「頑張る」しかないこともありえますので.

お礼

早速の御解答、誠にありがとうございます。

他の選択肢も最初は１０１１始まりですね。。。。。。。

ただ、そういった考え方も大切ですよね。
本番で５択を４択くらいに減らせる可能性もありますし。