数学の問題です。

質問

数学の問題です。

正の整数m,n,lがmn/(m+18)=l+1/3を満たすとき以下の問いに答えよ。

(1)mは3の倍数であることを示せ。
(2)mの最小値を求めよ。
(3)nの最小値を求めよ。

(2),(3)の問題で悩んでいます。
わかりやすい説明お願いします。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

(2)
3mn=(3l+1)(m+18)
m=3k
3kn=(3l+1)(k+6)
3l+1 または k+6 が 3 の倍数
3l+1 は3の倍数でないから
k+6=k+3*2 は 3 の倍数
k は 3 の倍数
k=3j
3jn=(3l+1)(j+2)
3l+1 または j+2 が 3 の倍数
3l+1 は3の倍数でないから
j+2 は 3 の倍数
j+2≧3
j≧1
k=3j≧3
m=3k≧9
m=9　のとき mn/(m+18)=l+1/3 を満たす整数 n=4,l=1があるから
m最小値=9
(3)
j+2=3i
(3i-2)n=(3l+1)i
i(3n-3l-1)=2n
n≧l+2/3
n>l≧1
n≧2
n=2 のときmn/(m+18)=l+1/3 を満たすを満たす整数l=1,m=36　があるから
n最小値=2

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

「mの最小値（範囲）」を求めるとのことですが、2変数（他の lと n）が含まれていると難しいですよね。
違ったアプローチが必要になります。
整数問題であることに注目すると、次のような方針が出てきます。

(1)で mは 3の倍数とわかっているので、m＝ 3k（kは自然数）とでもおくことにします。
これを元の式に戻して整理すると、
kn/(k+ 6)＝ l+ 1/3
l＝ (3kn- k- 6)/{ 3(k+ 6) }

となります。
lは正の整数ですから、
(A) 分子は分母で割り切れなければならない。
(B) l≧ 1でなければならない。

といった条件が必要になりますね。

少しヒントを足しておくと、
(A)の条件から kについてさらに条件が加わります。
（(1)の証明と同じようなことです。）
あとは、最小になると思われる mに対して nと lが存在することが示されれば、その値が最小であると言えます。

さらに、(B)の条件を使うことで nの最小値が求められます。
（推測される最小値に対して、mと lが存在することを示します。）

回答No.2

alice_44

補足要求 :
どれが イチ で、どれが エル か
わかんね。

補足

lがエルで1がイチです
宜しくお願いします。

回答No.1

alice_44

(2)
問題の式を
m = (n を含む式)
と変形して、グラフなど書きつつ、
右辺の関数の地域を考える。

(3)
同様。
n = (m を含む式)

補足

m=の式にすると右辺はlとnの式になるのでしょうか？