数学的帰納法について教えてください。

質問

こんにちは。いま「ｎの３乗＋２ｎは３の倍数である」ことを証明したいのですが、
ｎ＝ｋのとき　ｋの３乗＋２ｋ＝３ｍ　と仮定するとき　
多くの参考書は　ｍを整数
としているのですが、
ｍを自然数
としても問題は無いのでしょうか。
気になってしまいました。教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

celery · ベストアンサー

ｍは自然数でもよいです。
n^3+2n=3mを仮定すると、nがn+1になった場合
(n+1)^3{(n+1)^2+2}=n^3+2n^2+3n+n^2+2n+3=(n^3+2n)+3(n^2+n+1)…(1)
となります。
n^3+2n=3mを仮定しているので式(1)は
3m+3(n^2+n+1)=3(m+n^2+n+1)
となり3の倍数である事がわかります。
mについて特に整数である事を規定しませんでした。mは自然数でいいです。
ここでn^3+2n=3mを仮定しましたが、なんでもいいので一例を示せば、帰納的証明になります。

回答No.8

Ama430

整数は、高校までは、正の整数・ゼロ・負の整数の３種類に分類します。
No.3の方の３行目は、
(n+1)^3+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1 + 2n+2=n^3+2n+3n^2+3=3m + 3(n^2+1)
ということですね。

ｎが自然数なら、ｍは必ず自然数となりますから、「問題はないか」と言われれば「ありません」と答えるのが当然です。
逆にｎを整数としていたら、ｍも整数として、さらに、ｋ番目をもとにｋ－１番目が成り立つことを示さなければなりません。

多くの参考書で「整数」を使っている理由は、おそらく、ｎが負の数やゼロを含む問題や途中計算で負の数が登場するような問題を想定しているのだと思います。
多くの条件を考慮して、「ぎりぎりの条件は自然数」と絞り込むより「ま、整数って書いておけば大丈夫だろう」というスタンスではないでしょうか。
あまり気にしないでいいと思います。

回答No.7

yumisamisiidesu

Pをある命題として固定します
(n∈Z⇒P)⇒(n∈N⇒P) は成り立ちますが
(P⇒n∈Z)⇒(P⇒n∈N) は成り立たたない場合が一汎的です
No6の方の説明ではその辺があいまいだと思うのでこの場合は式で説明した方がわかりやすいと思います.

回答No.6

miniture_min

整数の中に自然数が含まれるのは言うまでもありません。
なら、整数での証明が出来たなら自然数の証明が出来たとして考えてよいはずです。

多くの参考書は自然数の証明を整数での証明を行う事で証明しているようですね。ちなみに自然数とおいているnから整数のmと置き直すのはダメです。

回答No.5

yumisamisiidesu

緩い過程にしておくことが無難と言うことではないでしょうか？論理式や数学記号で書きなおすと次のような命題になります.
　(n^3+2n)|3
∵n=1のとき
　(k^3+2k)|3
⇒∃m∈Z;k^3+2k=3m
⇒∃m∈N;k^3+2k=3m
このとき
　(k+1)^3+2(k+1)=3m+3k^2+3k+3|3

回答No.4

tatsumi01

n は自然数という仮定があるので、k も自然数です。
k^3+2k=3m は「左辺が 3 の倍数」を仮定しているので、m は整数です。
k>0 (自然数) ですから m>0 で自然数になることがわかります。
「m を自然数とする」ではなくて「m は自然数になる」です。ただ、証明では整数のままで問題はないと思いますが。

回答No.2

sak_sak

その問題が出されている環境(あなたが数Iの問題を解いているとすれば、数Iの教科書)において
「3の倍数」というのは例えば0や-3も含まれるのでしょうか。
それによって回答は変わってくると思います。

補足

申し訳ありません。
「『ｎが自然数のとき、』
ｎの３乗＋２ｎは３の倍数である」という証明です。
ｎが自然数だからｍも自然数でもかまわないのでしょうか？問題集はすべて整数になっているのですが。
よろしくお願いします。

回答No.1

otakun

私は、３０代の男性です。
文系です。

　自然数は、１，２，３，４，５・・・・・　で、
　整数は、０，１，２，３，４，５・・・・・だったと思います。

　『０』をかけた時に『０』になるようにするために、
『整数』でないとマズイのでは？と思ったんですけど・・・。

　私は『文系』なので、『数学』については『自信』がありません。

補足

早速の回答ありがとうございます。
条件として「ｎが自然数の時という条件がありました。」

申し訳ございません。
この場合どうなりますか？