教えてください

質問

３つの整式
　X＾４＋X＾３+１５X＾２－X＋１２
　X＾４＋２８X＾２＋９
　X＾４＋４X＾２＋２８X＋５１
を最高次の係数が１であるXの整式Ｐで割ると余りがすべて等しくなる。このようなＰをすべて求めよ。また、そのときの余りをもとめよ。
簡単かもしれませんが、どこから手をつけたらいいのか分かりません。回答お願いします。

回答No.2

fushigichan

こんにちは。
ちょっといろいろやってみたのですが、問題が間違ってるように
思うのですが・・
３つの整式は
x^4+x^3+15x^2-x+12
x^4+18x^2+9
x^4+4x^2+28x+51
じゃありませんか？もしそうだったら、上から
A(x),B(x),C(x)とおくとします。

ｘの整式Ｐで割るとき、整式Ｐは
P(x)とおくことができるので、それぞれ
A(x)=P(x)q(x)+Q(x)
B(x)=P(x)r(x)+Q(x)
C(x)=P(x)s(x)+Q(x)
と書くことができます。q(x),r(x),s(x)は商、Q(x)はあまり（共通）

さて、ここで
A(x)-B(x)=P(x){q(x)-r(x)}となり、あまりが消えます。
実際計算して、
A(x)-B(x)=(x-1)(x-3)(x+1)
同様にして
B(x)-C(x)=14(x-3)(x+1)
A(x)-C(x)=(x+1)(x-3)(x+13)
となることがわかります。
これらは、整式Ｐの倍数ですから、共通の約数がＰになります。

(1)P=x+1のとき
A(-1)=28,B(-1)=28,C(-1)=28となるので、
あまりは２８で、これが共通

(2)P=x-3のとき
A(3)≠B(3)なので、これは不適。

(3)P=(x+1)(x-3)のとき、
これは、ちょっとやってみて欲しいんですが、
実際A(x),B(x),C(x)を(x+1)(x-3)で割り算してみて、
あまりが共通になるかどうかです。
私がやってみたところ、あまりは共通にはならなかったです。

以上のことより、P=x+1,あまりは28である。

補足

すみません、問題を打ち間違ってました。＃1に補足したのが正しい問題です。間違えた問題で丁寧な解説をしてくださって有難うございました。大変解きにくかったと思います。本当にゴメンナサイ！

回答No.1

kony0

問題あってますか？各式の係数とか。

手のつけ方は、たとえば（２式）－（３式）はＰで割り切れることになりますよね？
ということなんですが、どうもうまく因数分解できない・・・

補足

すみません。問題を間違っていました。
2番目の式は、X^４＋１８X^２＋９でした。ご指摘、有難うございました