P(x)が任意の素数pでわれるようなnの求め方

質問

多項式P(x)の係数が全て整数で、最大次数の係数は１として、
任意の素数pでP(n)が割りきれるようなnは全てのpで求められるのでしょうか？
（もとめられなくても任意の素数pに対してnが必ず存在することが示せればいいです）
僕が考えたのは
p以下の自然数は全てpに互いに素なので、
P(x)に０以上p-1以下の自然数をおのおの代入してpで割ったときの余りが全て異なるとすると、
nは全てのpにおいて存在するとできるかなとおもったのですが、余りはこの場合異ならないのでしょうか？　ことなるとしたらどう説明できますか？
回答よろしくお願いします

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

多分、

A 　「pを素数として、P(x)≡0 mod p が整数解を持つ」

という命題がすべてのpでいえるかどうかということですね。P(x)=xなら、明らかにすべてのpでこの命題は成り立つし、一般にP(x)が一次式なら、どんな一次式でも成り立ちます（以下、多項式はすべて整数係数とし、最高次の係数は1とします）。さらに一般的に、

B　「P(x)がある一次式で割り切れる」

という命題を考えれば、すぐに分かるように、Bは、Aがすべてのpで成立することの十分条件です。これが必要条件かというと、なかなか難しくて、証明も反例も思いつきませんでした。

（二次式の場合）

Aの命題は、古くから研究されていますが、今日でも断片的なことしか分かっていないのではないでしょうか。

例外的に、P(x)が二次式の場合は、ほぼ完ぺきに分かっています。かの大数学者ガウスやオイラーも携わっており、その成果は、今日「平方剰余の法則」として知られています。

さわりだけをいいますと、

C　 「pが2以外の素数のとき、x^2-a≡0 mod pが解を持つ必要十分条件はa^((p-1)/2) ≡1 mod pであること」

です。

（x^n-a≡0 mod pの場合）

また、上のようなタイプの場合、解が存在するようなaは、1からp-1までの整数のうち、1/nしかないことが分かっています。

お礼

Bの考え方でこの問題がとけそうです　ありがとうございました。　平方余剰についても勉強してみます

回答No.6

ringohatimitu

質問文はNo.1さんの仰ってるように意味がはっきりしませんが、とりあえず「ある多項式Qが与えられたとき、各素数pに対してQ(x)=0 mod pが解を持つか？」という問を意図されているものとして参考までに一つ多項式「Q(x)=x^4+1」を挙げておきます。
この多項式はすべての奇素数pに対してmod pで解を持ちません。
以下この説明です。もし解xを持つとすればx^4=-1ですが、平方剰余に関する事実から素数pはmod 4で3でなければなりません。従って、x=x^p=x^{4k+3}=(-1)^k x^3がある整数kに対して成り立ちますが、その結果x^2が±1となりますがこれはx^4=-1に矛盾します。

回答No.5

ramayana

失礼、ANo.3の最後のところで、1/nというのは、「p-1がnで割り切れるとき」に限ります。

回答No.3

alice_44

P( ) は所与で、∀p∈素数,∃n∈自然数,pはP(n)を割り切る
…って読めたけどな。

質問文中のアイデアは、方向は良くて、
多項式は mod p で well-defined (x≡y ならば P(x)≡P(y) てこと)
だから、そうなるような n があれば、それは 0≦n＜p の範囲にも在る。
n があるかどうかは、個々の p に対して有限回のチェックで確認できる
ことになる。一般的に言えるのは、そのくらいまで。

任意の P( ) において n が存在するか？といえば、
p=7, P(x)=x^2+1 なんてのが反例になるから、∀P(),∀p,∃n とは言えない。

回答No.2

Tacosan

あなたが何を意図して書いたのかわからないんだけどね.

何がおかしいかというと:
「任意の素数pでP(n)が割りきれるようなnは」と書いてあるから「何か P(n) という多項式があって, これに n を代入すると『任意の素数』p で割り切れる」と読めるわけです. つまり, p が 2 でも 3 でも 5 でも 7 でも (以下略) P(n) が p で割り切れる, そんな n のことかな, ということです.

ところがそのあとに「全てのpで求められるのでしょうか」と来ている. ここを単純に読むと「p が 2 のときはどうか, p が 3 のときは, (以下略)」と, それぞれの p の値ごとに n を求めると思っちゃうんです.

で, 前半で「すべての p に対して」といっているのに後半では「それぞれの p で」といっているから, わけがわからん.

お礼

それぞれという意味でした。失礼いたしました

回答No.1

Tacosan

「任意の素数pでP(n)が割りきれるようなnは全てのpで求められるのでしょうか」は意味をなしていないけど, 任意の整数 n に対して n^2+1 は 3 で割り切れない.

お礼

なるほど　じゃあ考え方を変えないとだめですね。　もし意味をくみとれてたらでいいんですけど、なんていえば意味を成すのでしょうか？