Σ[k=1..∞]e^(-kx)の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ

質問

皆様こんにちは。

[Q]Σ[k=1..∞]e^(-kx)はx∈(0,∞)で収束する事を示せ。またこの和の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ。

がなかなか示せません。

前半は下記の通り示してみました。
Σ[k=1..∞]e^(-kx)=Σ[k=1..∞]1/e^x(1/e^x)^(k-1)=1/e^x/1-(1/e^x)
(∵初項1/e^x,公比1/e^xの無限等比級数でx∈(0,∞)では公比が|1/e^x|<1なので)
これで正しいですよね?

それと後半はどうやって示せますでしょうか?

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

まさに「そのまま」です．
＃式には適切に括弧をつけること

Σ[k=1..∞]e^(-kx)=Σ (e^{-x})^k
=1/(1-e^{-x})

ひとまず，これを微分すれば
-e^{-x}/(1-e^{-x})^2

一方，e^{-kx} を微分すれば
-ke^{-kx}
だから
-Σ[k=1..∞] ke^{-kx}
を計算すればよい．
見にくいから，求める和をS，e^{-x} = X とでもおけば
-S=Σ[k=1..∞] k X^k
となって．X=1ではないので
-Sn = Σ[k=1..n] k X^k とでもおけば
これはもう高校でよくやる問題になるでしょう．
-(1-X)Sn = X(1-X^n-1)/(1-X) -nX^{n+1}
|X|<1 だから X^{n}->0だし
nX^{n+1} = (n/e^n)(1/e) -> 0
よって
-S= X/(1-X)^2
これで証明終わり

お礼

有難うございます。
意外にも簡単なのですね。
納得できました。m(＿ ＿)m

回答No.1

age_momo

そのままでしょう。

導関数の定義

f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h

g(x)=f1(x)+f2(x)+・・・・+fn(x)とすると

g'(x)=lim[h→0]{g(x+h)-g(x)}/h
=lim[h→0]{f1(x+h)+f2(x+h)+・・・・+fn(x+h)-f1(x)-f2(x)-・・・・-fn(x)}/h
=lim[h→0][{f1(x+h)-f1(x)}/h + {f2（x+h)-f2(x)}/h +・・・・+{fn(x+h)-fn(x)}/h
=lim[h→0][{f1(x+h)-f1(x)}/h+・・・・+lim[h→0]{fn(x+h)-fn(x)}/h
=f1'(x)+f2'(x)+・・・・+fn'(x)

お礼

有難うございます。
意外にも簡単なのですね。
納得できました。m(＿ ＿)m