３次元球対称の場でのシュレディンガー方程式

質問

３次元球対称の場における波動関数ψを求める際に、θ方向の式についてわからないことがあったので、どなたかわかる方教えてください。

ラプラシアンを極座標表示にし、ψ=R(r)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離して、
sinθ ∂/∂θ (sinθ ∂Θ/∂θ)＋{l(l+1)(sinθ)^2 -m^2}Θ=0
を導出するところまではできたのですが、
x=cosθとおいて
連鎖律などから
∂Θ/∂θ=∂Θ/∂x (-sinθ),∂^2Θ/∂θ^2=∂^2Θ/∂x^2 (-sinθ)^2
を使って上の式を変形したのですが、
(1-x^2)∂^2Θ/∂x^2-x∂Θ/∂x+{l(l+1) -m^2/1-x^2}Θ=0
となり、ルジャンドルの陪微分方程式と第二項の係数だけが異なってしまいます。
第二項の係数が１でなく２になると思うのですが、どこが間違っているのでしょうか教えてください。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>∂Θ/∂θ=∂Θ/∂x (-sinθ)
の両辺をθで微分すると,sinθを微分した項も出ますよね。

でも、多分、∂/∂θ＝(dx/dθ) (∂/∂x) を最初の式に代入した方が楽じゃないかな。

お礼

回答ありがとうございます！２回微分でミスしていましたね。
∂/∂θ＝(dx/dθ) (∂/∂x)の方法でもやってみました。
参考になりました。