シュレディンガー方程式の問題お願いします

質問

一次元井戸型ポテンシャルV(x)中におかれた質量mの粒子の運動について考える
粒子の波動関数をΦとする

ポテンシャルが
V(x)=0(0≦x≦a) ∞(x<0 a<x)
であるとき以下の問いに答えよ

（１）粒子のエネルギーをEとして１次元シュレディンガー方程式を記述せよ
（２）粒子のエネルギー準位を低いほうから２つ求めよ
（３）規格化された波動関数をエネルギーの低いほうから２つ求めよ
（４）存在確立の最も最も高いxの位置をもとめよ

自分の答えは

（１）0≦x≦a -h^2/2m*d^2Φ/dx^2=Eφ
x<0 a<x -h^2/2m*d^2Φ/dx^2+Vφ=Eφ

（２）E=h^2π^2/2ma^2 E=2h^2π^2/ma^2

(3)φ=√a/2*sin(πx/a) φ=√a/2*sin(2πx/a)
（４）わかりませんでした

こうなったんですけど・・・

添削と（４）の解説お願いできないでしょうか？

回答No.1

dame_dame_ · ベストアンサー

(1)～(3)はあっていると思います
(1)はV=∞の部分ではφ=0と答えるほうが
普通な気もしますが

(4)は何か条件ついてないですか？
エネルギー低い方から二つのそれぞれの場合についてとか。
たぶんそういう意味だと思います。

それならば|φ|^2の最大となる位置を求めればよくて
それぞれx=a/2 x=a/4,3a/4

一般的には
φ∝sin(nπx/a)
なのでx=(2k-1)a/(2n) (k=1,2...n)です

回答No.3

jamf0421

No.2です。No.2の回答で冒頭で訳の分からぬ文章になりましたが、h/2πをh（←これはバーが入っているのを入れたつもりです。）と入れてもわたくしの画面でよく見たらhとしか出ていませんでした。質問者さんもh/2πを使われたのだと思います。失礼いたしました。

回答No.2

jamf0421

hがプランク定数でなくhの意味でつかわれているのですね。
(1)VがゼロになるときはVを書かないのはよいとしてVが∞になるときがちょっと変です。存在確率がゼロだからこちらは書かないでよいのではないですか。
(2)これはあっています。
(3)これはケアレスミスでしょう。
ψ=Asin[(√(2mE)/h)x]=Asin(nπx/a)
の形の解を得たはずです。ここでnは整数です。
1=∫ψ*ψdx=∫ψ^2dx
=A^2∫sin^2(nπx/a)dx
=A^2∫{(1-cos(2nπx/a))/2}dx
=(A^2/2)[x-(a/2nπ)sin(2nπx/a)](0→a)
=(A^2/2)a
となります。したがって
A=√(2/a)となります。
よって(3)の解は
ψ=√(2/a)sin(πx/a)
ψ=√(2/a)sin(2πx/a)
です。
(4)dxに粒子を見出す確率はψ^2dxです。
n=1の時：ψ^2=(2/a)(1-cos(2πx/a))/2=(1/a)(1-cos(2πx/a))...(1)
n=2の時：ψ2^2=(1/a)(1-cos(4πx/a))...(2)
どちらもψ＾2が最大になるのはcosが-1になるときです。(1), (2)よりそれぞれ
2πx/a=(2m+1)π...(1)'
4πx/a=(2m+1)π...(2)'
の時ψ^2が最大値2/aをとります。ここでmは整数です。x=0からaまでですから、(1)'ではm=0のみ(2)’ではm=0と1が取れます。
(1)'の時；m=0でx=a/2（すなわち中央で最大値をとります。）
(2)'の時; m=0の時x=a/4、m=1の時x=(3/4)a(すなわち右から1/4と左から1/4で最大値をとります。）