波動方程式とサインゴードン方程式の違い

質問

式の形は知ってますので、具体的な挙動の違いを教えてください。

非線形項の係数を小さくすると波動方程式に近似できます。
光パルスを説明する際にはサインゴードン方程式になるんでしょうか？

回答No.1

phyonco

「波動方程式」とおっしゃっているのは電磁波の方程式のことだと思います。これは速度が一定の波の伝搬を記述します。話の順序として、（massive）Klein-Gordonを理解しておく必要があります。この方程式に従う波は速度がエネルギーに依存します。つまり分散があります。すると、例えばwave packetを飛ばすと、時間と共に次第に波がばらけてくるわけです。光の波動方程式ではwave packetは真空中ではいつまでも同じ形のwave packetです。さて、ご質問のSine-Gordonですが、これは振幅が小さい場合、線形化するとKlein-Gordonになります。つまり、まづ第一に波の分散があるということが重要です。wave packetの形が時間と共に変化しようとするメカニズムがまずあるわけです。その上にSine-Gordonの非線形効果が加わった結果として、有名なarctan型のkink解が出て来るのです。非線形性の裏で分散が効いている、という点に注意すべきです。光パルスがSine-Gordonになるかどうかは、媒質の性質に依ります。