二項定理 証明

質問

《問題》
(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)において,x^(r+1)の項の係数を比べて等式nＣr+nＣ(r+1)=(n+1)Ｃ(r+1)が成り立つことを証明せよ。

《解答》
(1+x)^n=nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n

ゆえに,(1+x)^n・(1+x)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は
【nＣr+nＣ(r+1)】

一方,(1+x)^(n+1)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は (n+1)Ｃ(r+1)
ここで,(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)であるから,両辺の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は等しい。
ゆえに nＣr+nＣ(r+1)=(n+1)Ｃ(r+1)

質問したいのは、【 】で囲った部分です。
なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか？
理由を教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか？
> 理由を教えてください。宜しくお願いします。

ただ単に、計算(展開して整理)するとそうなるからです。

(1+x)^n = nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n
なので(1+x)^n・(1+x)は
(1+x)^n・(1+x) = {nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n}・(1+x)
となりますよね。
あとはこれに分配法則を使って

{nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n}・(1+x)
={nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n}・1
　+ {nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n}・x

と展開してあげます。
後は{nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n}・1と
{nＣ0+nＣ1(x)+…+nＣr(x)^r+nＣ(r+1)x^(r+1)+…+nＣn(x)^n}・xをそれぞれ展開し、
同類項をまとめてみましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
疑問が解決しました。