円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

質問

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

円筒（または円柱）座標ですね；

　　ｘ → ｒ　　長さ→長さ
　　ｙ → θ　長さ→角度
　　ｚ → ｚ　 長さ→長さ

　時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。ｘ と ｙ のように。
針の長さを ｒ、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は ｒ dθです、
つまり、
　　∇=(∂/∂x,　∂/∂y,　　 ∂/∂z)
　　∇=(∂/∂r,　∂/r∂θ,　∂/∂z)

　△の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
　　(fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。

お礼

お返事、ありがとうございます。
Δのほうはまだ納得できていませんが、
もう少し自分で考えてみたいと思います!!

回答No.1

sakura_214

ベクトル解析の座標変換のところを見れば必ず計算方法が載っています．また微分形式などでベクトル微分と１形式微分の違いを理解できると多少見通しよく系統的に導出することもできますが，いずれにしても面倒な計算です．まずはベクトル解析で調べて計算して見てください．ちなみに

>ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。

ですが，右辺の第１項と第２項をまとめると
(1/r)(∂/∂r)(r∂/∂r)
となります．これを展開すると指摘のように４項になります．

結果だけならば，たいがいの物理参考書や数学辞典や数学公式集の付録に，円柱座標系，球座標系のgrad, div, rot, Δの公式が記されていると思います．これらの公式を導出することは，流体力学だけでなく色々な分野で出てきますが，それ自体現在勉強している物理を習得することには本質的ではないので，特に気にすることはないでしょう．また，毎回毎回こんな公式を導出するのは明らかに非効率的なので，頻繁に使うようでしたら，付録をコピーして壁にでも貼っておきましょう．

お礼

お返事、ありがとうございます。
結果は覚えてしまったほうがいいということですね。

ところで、やはり
>ですが，右辺の第１項と第２項をまとめると
>(1/r)(∂/∂r)(r∂/∂r)
>となります．これを展開すると指摘のように４項になります．
の部分が分かりません。
これを展開すると4項になるのは分かるのですが、
なぜこの式が出てくるのかについては、
また面倒な計算の賜物なのでしょうか。