ダイアディックについて

質問

下記の数式について、左辺から右辺を導きたいのですがわかりません。ちなみに『ｍ』はベクトル、『△』はラプラシアン、『×』は外積を表しています。

－ｍ×（ｍ×△ｍ）＝△ｍ＋（ｌ∇ｍｌ＾２）ｍ

右辺第二項の『∇ｍ』はダイアディックで、『ｌ∇ｍｌ』は絶対値記号（？）のなかに『∇ｍ』が入っているものと思われます。
ベクトル三重積の公式を使えば、右辺第一項は導けるのですが、第二項については見当もつきません。詳しく教えてください。もし、これがある参考文献、ULR等ございましたら海外サイト問わず教えてください。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

ichiro0000さん、こんにちは。テンソル解析では二つの添字の値を同じにおいて、その添字について空間の次元全体に渡って和をとる操作がしばしば出てきます。例えばAijとBjkについて
　Ai1B1k + Ai2B2k + Ai3B3k
のようなものです。この操作を縮約と呼びます。ベクトルaとbの内積
　a1b1 + a2b2 + a3b3
は縮約の一番簡単な例です。2階のテンソルaibjが縮約するとスカラーになることからも分かるように一般に縮約するとテンソルの階数は下がります。縮約を表わすため一つの項の中に同じ添字があるときは和の記号がなくてもこの添字について和をとることにするのです(アインシュタインの規約)。例えば

εikjεmnj = εik1εmn1 + εik2εmn2 +εik3εmn3

aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3

です。つまりMnMn=1は|M|^2=1と同じです。

お礼

テンソルについて詳しく教えていただきありがとうございました。テンソルは文字が羅列されているだけという感じで、とっつきにくかったのですがgrothendieckさんの説明が非常に分かりやすかったのでテンソルに一歩近づけたような気がします。
今後ともよろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck

ichiro0000さん、こんにちは。Mをa倍するとM×(M×△M)はa^3倍になりますが△Mはa倍にしかなりません。したがってご質問の式は|M|^2=1 のような条件がなければ成立しないと思われます。以下ではこれを仮定します。
　εijkを完全反対称テンソルとします。すなわちi,j,kはそれぞれ1から3の値をとり、

　εijk = 1　((i,j,k)が(1,2,3)の偶置換のとき)
　εijk = -1　((i,j,k)が(1,2,3)の奇置換のとき)
　εijk = 0　((i,j,k)の中に同じものがあるとき)
とします。ベクトルの外積は
　(A×B)k = εijkAiBj
と書けます。すると
　[－M×(M×△M)]k = -εijk Mi(M×△M)j
　= -εijk Mi(εjmn Mm△Mn)
　= εikjεmnj MiMm△Mn　
ただし2回現れる添字については1から3まで和をとるものとします。するとδijをクロネッカーのδとするとき
　εikjεmnj = δimδkn - δinδkm
という公式を使うと
　[－M×(M×△M)]k
　= (δimδkn - δinδkm)MiMm△Mn
　= |M|^2 △Mk - MnMk△Mn
となります。∂/∂xiを∂iと書くことにすると
　MnMn = 1
を微分して
　∂i(MnMn) = 2(∂iMn)Mn = 0
　∂i∂i(MnMn) = 2(∂i∂iMn)Mn + 2(∂iMn)(∂iMn)
　　= 0
だから
　Mn△Mn = -|∇M|^2
よって
　[－M×(M×△M)]k
　= △Mk + |∇M|^2Mk

補足

すいません。確かに|M|^2=1という条件が抜けていました。ところで、回答文中に

MnMn = 1

とありますが、これはどこからきたものですか？教えて下さい。