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工学数学の問題
({(∂/∂r)^2 + (1/r)*(∂/∂r)}^2)F=0の一般解が F=C1r^2+C2r^2*lnr+C3lnr+C4 ;(C1,C2,C3,C4:任意定数)になるらしいのですが、 導出方法が分かりません。 上式の微分の項は極座標(r、θ、z)で ∆^2(ラプラシアンの2乗)でθとzの偏微分の項を無くした形です。
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- spring135
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>({(∂/∂r)^2 + (1/r)*(∂/∂r)}^2)F=0 {(∂/∂r)^2 + (1/r)*(∂/∂r)}F=G (1) とおくと {(∂/∂r)^2 + (1/r)*(∂/∂r)}G=0 (2) となるGを求めればよい。 以下において、rの関数形のみが問題なので ∂/∂r=d/drと扱う。 従って(2)は d^2G/dr^2+(1/r)(dG/dr)=0 (3) dG/dr=H (4) とおくと(3)は dH/dr+H/r=0 dH/H=-dr/r lnH=-clnr+d H=c/r (4)より G=clnr+d (1)より d^2F/dr^2+(1/r)(dF/dr)=clnr+d (5) dF/dr=P (6) とおくと(5)は dP/dr+P/r=clnr+d (7) P=Q/r (8) とおくと dP/dr+P/r=(1/r)(dQ/dr) よって(7)は (1/r)(dQ/dr)=clnr+d dQ/dr=crlnr+dr ∫rlnr=r^2lnr-r^2/2+a より整理して Q=cr^2lnr+dr^2+e (8)より P=crlnr+dr+e/r (6)より dF/dr=P=crlnr+dr+e/r F=cr^2lnr+dr^2+elnr+f 係数は適宜整理した。 c=C1, d=c2, e=C3, f=C4 と置けばよい。