約分を行うときの、文字の条件について質問です。

質問

よろしくお願いします。約分を行うときの、文字の条件について質問です。

問題は、
関数f(x)=(ax+b)/(cx+d)　但し、(d>0)とg(x)=(-2x+3)/(x-1)
がある。(f。g)(x)=xとなる関数f(x)を求めよ。

です。

f(x)にg(x)を代入してそれを＝ｘとして恒等式となりました。
ここまでは、解答と同じでした。ここでの恒等式は、
(-2a+b)x+(3a-b)=(-2c+d)x^2+(3c-d)x
です。
ここからなのですが、恒等式なので、
(-2a+b)=(3c-d)
(3a-b)=0
(-2c+d)=0
です。

自分はa, b, dをｃであらわして、それをf(x)式に代入し、約分して、答えをf(x)＝（x+3）/（x+2）としました。
解答は、恒等式の後、a, b, cをdであらわして、それをf(x)式に代入し、約分して、答えはf(x)＝（x+3）/（x+2）でした。ただこの解答で気になったのが、約分するときに、「d>0より」とあったことです。

自分がわからないのは、どうしてこの条件がないといけないのか、ということです。
自分はこの条件がなくても約分できると思います。
この条件がなければ、自分の方法である、a,b,dをｃで表すという方法も間違いでないと思いますが、もし、ｄ＞０という条件が必要なのであれば、問題文にa>0という条件がないので、自分は勝手に約分しているので、自分のやり方だと間違いになると思います。ですが、本当にこのｄ＞０という条件は必要でしょうか。

勉強不足ですが、アドバイスをいただけるとありがたいです。よろしくお願いします。フォーカス例題１１

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

約分は割り算ですよね？
割り算でやってはいけないことって何だかわかりますか？
「0では割ってはならない」です。
だから、0 < dなんです（d ≠ 0だからdで約分できる）。

> もし、ｄ＞０という条件が必要なのであれば、問題文にa>0という条件がないので、自分は勝手に約分しているので、自分のやり方だと間違いになると思います。

cに関する条件がなければ、作ってしまえば問題ありません。

(-2c + d) = 0より、
c = d/2
よってd > 0なら、c > 0

なので別にc = 0とならないので、cで約分しても問題ありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
分母がゼロはだめ、というのは覚えていましたが、よく考えたらこれも「0では割ってはならない」だからですね。

＞cに関する条件がなければ、作ってしまえば問題ありません。
これに自然に気づいて自力で導けるようにがんばります。

回答No.4

kabaokaba

＞d>0 が与えられても、解は一意にはなりません。

ああ，このケースがありますね，うっかりしてた．
けど約分は常識（きちんとしたテストなら注意書きに明記してある）として
マーク式とかのための「一意性」の条件だと思うなあ

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

f(x)=(2x+6)/(2x+4) だって解なので、
d>0 が与えられても、解は一意にはなりません。

約分してキレイにする ことは、
問題文以外の、算数の常識から要求される事項です。

d>0 の意味は、不可解ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
今回はd>0という条件が与えられていなくてもよかったのですね。
化学でも時々この条件はなに？？と思うものがあると、余分に与えられていたものだったりします。
自分で気づけるようにがんばります。

回答No.2

kabaokaba

この問題の本質は d>0 とかそういう些細なことでも
約分できるかとかいう些細なものでもありません．

d>0 というのは単に「解の表記を一意にする」だけのものです．
もしこの条件がなければ
f(x)＝（-x-3）/（-x-2）
だって解なんです．
この場合は「マイナスで約分しろよ」といわれても
仕方がないですが，もしも解が
f(x)＝（-x-3）/（x-2）
のようなものであったならば，これを正解にして
f(x)＝（x+3）/（-x+2)
を不正解にすることはできません．
したがって，解の表記の一意性を担保しているだけの条件です．
これはマークシートの問題によくあります．

今回の問題は実際，d>0 なんて条件がなくたって
解けます．
質問者のように解くのであれば，dが0ではないことを
示せば十分であって，d=0と仮定すれば
a=b=c=0となるので解なし．
したがって，dは0ではないとすればいいだけです．

約分無しでとくことも可能です．
y=(-2x+3)/(x-1)
をxについて解けばそれで終わりです．

お礼

ご回答ありがとうございます。
今回はd>0がなにか特別な意味があるの？と深読みしすぎたかもしれません。
ｄ以外で約分するなら、自分で導けばよいのですね。
ありがとうございます。