代ゼミ模試の問題～必要十分条件～

質問

代ゼミの模試の問題が返却されたのですが、代ゼミは非常に採点がいいかげんであるのか、数学の問題で大問１つを採点せずに０点にされてしまいました……。それも運が悪いことに、答案に書いた解法が、模範解答には出ていない手法でしたので(採点講評によればこの手法で解いた受験生は結構いたそうなのですが…)、解答と照らし合わせるということも出来ないので、間違いを見つけたりすることも出来なくて困っています。そこで、次の問題に私の解答を見ていただけないでしょうか？

問　a，bを実数とする。任意の実数ｘに対して、
　[x^2 +ax +b]≧[x^2 -1]　[　]は絶対値記号
　が成り立つとき、a,bの条件を求めよ。

(私の解答)
[x^2 +ax +b]≧[x^2 -1]
⇔(x^2 +ax +b)^2≧(x^2 -1)^2
この不等式を整理すると、
2ax^3 +(a^2 +2b +2)x^2 +(2ab)x +b^2 -1≧0
このときの左辺をf(x)とおくと、a≠0のとき
x→∞ or -∞ のいずれかのとき、f(x)は-∞に発散するため、f(x)≧0がすべての実数xで成り立つことはない。
よって、a＝0
このとき、
　f(x)＝(2b +2)x^2 +b^2 -1≧0
すべてのｘで成り立つ条件は、y＝f(x)が２次関数であり、グラフが下に凸かつ頂点のy座標が0以上であること、または、y＝ｆ(x)が0以上の定数関数であること、であるから、
　2b +2＞0　かつ　b^2 -1≧0　または　2b +2＝0 かつ b^2 -1≧0
　∴b≧1 または b＝-1
よって、求める条件は
　a＝0,b≧1　または、a＝0,b＝-1　……(答)

　採点講評によると、このように与えられた不等式を２乗して条件を導く手法では、導いたa,bの条件は必要条件なので、a,bが十分性を満たしていることを示さなければならない、と書いてあります。この十分性を示さないといけないということがよく分からなくて困っています。はじめの２乗したところで、⇔と書きましたが、実際には⇒しか成り立っていないから、とかいうことなのでしょうか？教えてください。
　また、上の解答はそのようなことを全く意識できなかったように思いますので、解答記述が不十分になってしまっていると思います。どのように訂正すべきかも教えていただきたいです。
　お願いします！

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

>はじめの２乗したところで、⇔と書きましたが、
>実際には⇒しか成り立っていないから、とかいうことなのでしょうか？
そこは同値でいいとして、

2ax^3 +(a^2 +2b +2)x^2 +(2ab)x +b^2 -1≧0

を求めて以降は、ずっと「不等式が成立するならば、a は○○、b は△△」という論調だからでしょ？

お礼

はい、そうですね！わかりました！
　いわれてみればそう難しい話ではなかったですね。どうやら、私の数学的なセンスはまだまだのようです。
　ご解答ありがとうございました。

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

＃１さんのとおりです。

あなたが書いた解答の言い方を変えると、
2ax^3 +(a^2 +2b +2)x^2 +(2ab)x +b^2 -1≧0 が成り立つためには
a＝0 が必要。
(2b +2)x^2 +b^2 -1≧0 が成り立つためには
b≧1 または b＝-1 が必要。
ということで、必要条件だけになっています。

十分性を確かめるのは、
「逆にこのとき、
　f(x) = ・・・ = ・・・≧0　（・・・は式変形）
　なので、確かに成り立つ。」
と書くぐらいで終わりです。
十分性を確かめていないから０点というのは、ちょっと厳しすぎると思います。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。これでもう一度やれば、正しく答案が書けそうです。
＞十分性を確かめていないから０点というのは、ちょっと厳しすぎると思います。
　質問とは直接関係ない話ですが、実は、０点というのは、そういう理由じゃなかったんです。模試のときははじめに別の方針で解答を作っていたのですが、うまくまとまらなくて、方針を途中で変えたんです。でも、時間があまりなかったので、先の方針の解答を消さずに、新しい解答を空いていたスペースに書き、こちらが解答です、とはっきり書いておいたんです。にもかかわらず、新しい解答はみてもらえず、先に書いておいた方に×がついていただけでした。私も、十分性が確かめられていないという理由で０点なら、厳しいな、と思いながらも納得はいくのですが、答えを見てもらえないなんてひどいじゃないですか！しかも、私が取った別解の方針はほかの受験生も多くが取っていて、みんな私と同じミスをしていると講評に書いてあったのに、それに関して、新たに正しい模範解答をその講評に載せてくれたりはしない。なんて不親切な予備校なんだ！と思ったんです。
　……つい、愚痴っぽくなってしまいました(笑)。でも、同時に、正しい答案を作り直せないで困っていたので、皆さんのおかげで非常に助かりました。解答ありがとうございました。