約分

質問

[(M+m)a+dm] / (dM+dm)

という式は

分母分子のdm　は約分はできませんよね？

完全に忘却してしまいました。

なぜかというと

(1/2)mv_2^2 - (1/2)(M+m)v^2 = Fa

という運動エネルギー変化と仕事の関係の式を立てました。
そしてこの等式は解答と一致していました。

そしてここで　F = mv_0^2/2d

v= mv_0/M+m

ということがわかっている状態で

v_2を求めたいという式にしました。

最後の最後まで計算して言ったら

v_2^2 = v_0^2 [(a/d) +(m/M+m)]
となり

v_2= v_0√[ (a/d) +(m/M+m)]

としたら

解答では

v_2= v_0√[(M+m)a]/dM

となっていました。

そもそも途中式の計算が間違っていることも不安なのですが
一応上記の質問の通分後の約分で消えれば解答と無事一致になるのでいいかなと思ったのですが
普通に考えてこれって約分していいんだっけ？

となぞになって動けなくなり質問しました。

中学の数学レベルなのに記号だけ煩雑でご迷惑をおかけしますが先に進まなくなってしまいましたのでご教授いただければ幸いです。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1へのコメントについてです。

　　v = (m/(M+m)) v_0
　　F = m (v_0^2) / (2 d)
　　(1/2) m (v_2^2) - (1/2)(M+m)(v^2) = F a
からv_2を計算すると
　　(v_2^2) = (a/d + m/(M+m)) (v_0^2)
となり、「解答」のようにはなりません。

> Fはここでは弾丸が抵抗力によってどれほど杭の中に突っ込んだかを求める式で得られたもので

> Faが弾丸が杭を貫通する際の等式として利用されています。

ほえー、そうなんですか。そう思って式を見直すと、えーと、
　　F = m (v_0^2) / (2 d)
これはエネルギーと力の関係式ですね。移項すれば
　　F d = (1/2)m(V_0^2)
つまり、弾丸が杭を貫通するとき、弾丸の質量がm、衝突前の弾丸の速さがv_0、そして衝突中に弾丸が受ける力がF（ただし、衝突中に弾丸が受ける力はずっと一定であると仮定したもの）、撃ち込まれた弾丸が刺さる深さがd、という意味でしょう。

　　v = (m/(M+m)) v_0
というのは運動量の保存を表している。移項すれば
　　(M+m)v = m v_0
ですね。Mってのは、杭のうち、貫通した弾丸によって吹っ飛ばされた部分の質量でしょうか。弾丸が貫通した後、吹っ飛ばされた部分と弾丸とが同じ速さで一緒に運動するものと仮定して、その速さがv、ってことですかね？

　　(1/2) m (v_2^2) - (1/2)(M+m)(v^2) = F a
これもエネルギーと力の関係式です。左辺の第二項は、弾丸の貫通後に、（衝突前の速さがv_0であった弾丸によって）吹っ飛ばされた部分と弾丸とが同じ速さで一緒に運動する運動エネルギー。ならば、「弾丸は杭に当たってからaの深さまでは穴を穿って進み、この時点での弾丸の速さがv_2である。aより先に弾丸が進むと杭の破壊が生じて質量Mの部分が吹っ飛ばされる」という話なんでしょうかね？で、深さaの時点での速さv_2を計算しようとなさっている？？

お礼

いつも早速のお返事並びご指導ご教授まことにありがとうございます。
問題文の問いに記載されている趣旨と解説に書かれている文章のほとんどが私のつたない情報だけでそっくりそのままご指摘を頂戴したこと本当にびっくりしてます。

おっしゃるとおりでつまるところ円滑な面にさらされた木に弾丸が突っ込んでいったとき刺さりながらも木が進んじゃいましたよ。
さてv_2はいくらでしょうか？
という問題が本件の命題です。

抵抗力が一定に働きながらも動摩擦力を考えないでの移動距離を検討しているので(M+v)v = mv_0の考えも記載されたとおりの定義となっております。

それも踏まえたうえで計算をするとやはり
(v_2^2) = (a/d + m/(M+m)) (v_0^2)

なってしまったので間違いじゃないかとずっと思って不安でしたので本当にご指導を賜れたことうれしく存じます。

次回はもっと情報を的確に伝えられるように努めます。
不備があったり言葉足らずにもかかわらずたくさんのお時間を頂戴しご指導くださり本当にありがとうございます。

回答No.1

stomachman

> 約分

できません。もしそんな計算が出来たら 5/3 = (3+2)/(1+2) = 3/1 = 3 ってことになっちゃいます。

ところで、

> v= mv_0/M+m

vは速さ、mとMが質量だとすると、これでは次元（単位）が合ってません。
　　v= mv_0/(M+m)
の間違いじゃないですか？

> (1/2)mv_2^2 - (1/2)(M+m)v^2 = Fa

> F = mv_0^2/2d

Fが力だとすれば、a, dは長さの次元を持っていることになります（つまり単位がメートルであるはずです）。それでOK?

　だとすれば、お書きの計算通りになり、「解答」のようにはなりません。で、その「解答」

> v_2= v_0√[(M+m)a]/dM

ですけど、お書きの通りに「/dM」の部分が平方根の外にあるのだとすると、単位が合ってません。これももしかして、
　　v_2= v_0√((M+m)a/(dM))
の間違いですかね？

お礼

早速のご指導ならび記載の不備のご指摘誠にありがとうございます。
おっしゃるとおりでFはここでは弾丸が抵抗力によってどれほど杭の中に突っ込んだかを求める式で得られたもので
Faが弾丸が杭を貫通する際の等式として利用されています。
そして記載について間違いじゃないか？とご指摘の二か所は全てstomachmanさんがおっしゃったとおりで
v_2= v_0√((M+m)a/(dM))
v= mv_0/(M+m)

の記載ミスです。

以上も含めましてやはり答えは
v_2= v_0√((M+m)a/(dM))
のようにはならないでしょうか？

この答えにならずに一時間ぐらい計算し続けましたがなりませんでした。。。