ノルム空間

質問

(X,||・||)をノルム空間とする。
この時x,y∈Xに対してd(x,y)=|x-y|と定義すれば、
(X,d)は距離空間となることを示せ。

Xがノルム空間であることを利用して、
対称性と常に0以上になるということは示したのですが、
三角不等式の証明が上手く出来ません。
どのように示せばいいのでしょうか？
x,y,z∈Xとして、
|x-z|≦|x-y|+|y-z|を示したいのですが、
|x-z|≦|x|+|z|≦|x-y|+|y-z|≦||x|+|y|+|y|+|z|
が成立するかどうかがいまいち曖昧なのです。

よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba

要は，定義とかそーいうものが
ごっちゃごちゃになってるだけですよ．

まず，大前提は「(X,||・||)をノルム空間とする。」でしょ．
あくまでも「ノルム空間」であって，R^n とかではないっ！ってこと．
この前提のもとで距離は

>この時x,y∈Xに対してd(x,y)=|x-y|と定義すれば、

ではなくって，No.3さんのおっしゃるように
「この時x,y∈Xに対してd(x,y)=|| x-y ||と定義すれば、」
としなければならない．

この定義のもとで「距離の定義」
d(x,y) >= 0
d(x,y)=d(y,x)
d(x,y)=0 ⇔ x = y
d(x,z) <= d(x,y)+d(y.z)
を示さなければいけない．

決して，R^nでの絶対値の三角不等式なんかは使ってはいけません．
だって，もともとR^nなんてどこにも出てきてないでしょ？

この距離の定義の条件を満たすかは
ノルム空間の定義から明らかでしょう
ノルム空間の定義には「三角不等式」が入ってます．
距離空間風書くならこんな感じ
d(x,z) = || x - z ||
=|| x -y + y - z || <= || x-y || + || y-z || （ノルムの条件）
= d(x,y) + d(y,z)

内積空間(X, ・)から誘導されたもので，
|| u || = (u・u)^{1/2} で定義された写像で
ノルムを定めた際に，これが本当に「ノルムの条件」を
満たすのか？というならば，話はちょっとだけ複雑になりますが，
それにしても，「シュワルツの不等式」から
ノルムの定義に含まれる三角不等式はすぐに導出できます．
「シュワルツの不等式」自体の証明は
大抵の線形代数の本に出てると思います．

お礼

みなさん回答ありがとうございました。
書き方が間違っていたみたいでご迷惑をおかけしました。

問題も解くことが出来ました。

回答No.3

cabinessence

もうひとつ、
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
も証明してください。

|x-z|≦|x-y|+|y-z|の証明ですが、
No.1さんが書いておられるように下記のようにします。（定石です。）
|x-z|=|x-y+(y-z)|≦|≦|x-y|+|y-z|

ちなみに、ノルム空間はノルムが定義されたベクトル空間だから
三角不等式を満たすかどうか不明じゃなかったかな？
（間違ってたらごめん）

＞d(x,y)=|x-y|と定義すれば
Xで定義されているノルムは||・||だから、
d(x,y)=||x-y|| じゃないかな。
|・|と書くと、絶対値なのか、長さなのか、L∞ノルムなのかよくわからないので。

回答No.2

ojisan7

(X,||・||)はノルム空間ですよね。ノルム空間の定義はご存じですか。ノルム空間は三角不等式を満たしますから、そこから、d(x,y)が三角不等式を満たすことは自然に導かれます。

回答No.1

rinkun

x-z = (x-y) + (y-z)
を使います。