C^nがヒルベルト空間であることの証明

質問

C^nを複素数のn個の項x=(α_1,…,α_n)の空間とする。
x＝(α_1,…,α_n)、ｙ＝(β_1,…,β_n)をC^nの元とするとき、内積を

(x,y)=Σ^(n) _(i=1)α_i・(*β_i) (*β_iはβ_iの共役複素数)

と定義する。
このとき、C^nがヒルベルト空間であることを証明せよという問題がわかりません。

教科書にヒルベルト空間の定義が「内積空間で(x,x)=||x||^2によりノルムが定義された完備な空間」と書いてあったので、C^nが内積空間であることは示せたのですが、完備である（コーシー列が収束する）ことが示せません。
C^nからどのようにコーシー列をとって収束することを示せばよいのでしょうか？

ちなみに教科書には
X：ノルム
｛ｘ_n}をXの元の数列とし、Xのある元xがあって
||x_n-x||→0 (n→∞)
となるとき｛ｘ_n}はxに収束する
とありました。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#199771

＞できれば、具体的に任意のコーシー列の式を
＞教えていただきたいです。

このコメントが解せないのですが、
コーシー列の定義がわからないのですか？

｛ｘ_n}がコーシー列であることをどうやって表すか
は考えることではなくて教科書にのってますよ。
それを書き下してみてください。

　教科書の索引で「コーシー列」を探す
　↓
　教科書に載っているそのままの形で
　｛ｘ_n}がコーシー列であることをノートに
　書き下す
　↓
　ｘ_nの成分を使って書き直す

ということです。
頭のなかでやろうとしてはダメです。必ずノートに
書きましょう。

そこまでやってピンと来なければどこまで計算した
かわかるような方法でまた聞いてください。

回答No.1

noname#199771

＞C^nからどのようにコーシー列をとって収束すること
＞を示せばよいのでしょうか？

ちがいます。
何か特殊なコーシー列をとるのではなくて、どんなコー
シー列を取っても収束することを示さないといけません。

コーシー列を任意に取る
↓
その列の各成分がコーシー列であることを示す
↓
各成分が収束することを示す
↓
元のコーシー列が収束することを示す

という流れです。

お礼

回答ありがとうございます。
任意のコーシー列を与えなくてはならないんですね。
できれば、具体的に任意のコーシー列の式を教えていただきたいです。