次の表現行列は(実)ユニタリである事を示せ
VをR上の有限次元内積空間とする.
[問] Rを実数体とする。VをR上の有限次元内積空間とする。
B:={v_1,v_2,…,v_n}とB':={w_1,w_2,…,w_n}を夫々,Vの正規直交基底とする。
f:V→Vを線形写像とする時,
基底BとB'に関するfの表現行列をM_B_B'(f)で表す。
(1) id:V→Vを恒等写像とすると,M_B_B'(id)は実ユニタリ(直交行列(?))であることを示せ。
[ヒント:<w_i,w_i>=1,i≠jなら<w_i,w_j>=0.また表現w_i=Σa_ijv_j (a_ij∈R)]
(2) f:V→Vをf(v_i)=w_i (i=1,2,…,n)とすると,M_B_B'(f)はユニタリであることを示せ。
と言う問題です。
これらはどのようにして求めればいいのでしょうか?
(1)については
表現行列の定義から
x=Σa_iv_i (a_1,a_2,…,a_n∈R)とするとM_B_B'(id)(x)=M_B_B'(x) (∵恒等写像の定義)
=Σ[i=1..n]c_iw_i (但し,c_1,c_2,…,c_n∈R)
と書け、
ユニタリの定義から内積が保存される事,つまり
<M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<x,y>を示せばいいのだと思います。
y=Σb_iv_i (b_1,b_2,…,b_n∈R)として,
M_B_B'(id)(y)=Σ[i=1..n]d_iw_i (但し, d_1,d_2,…,d_n∈R)
とすると
<M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<Σ[i=1..n]c_iw_i,Σ[i=1..n]d_iw_i>
=Σ[i=1..n]<c_iw_i,d_iw_i> (∵直交の定義)
=Σ[i=1..n]c_id_i (∵正規の定義)
となり,<x,y>から遠ざかっております。
どのようにして証明すればいいのでしょうか?
(2)についてはユニタリの定義はノルムを保存する事
<M_B_B'(f)(x),M_B_B'(f)(x)>=<x,x>
を示す事だと思います。
M_B_B'(f)(x)=M_B_B'(f)(Σa_iv_i)=M_B_B'(f(Σa_iv_i)=Σ[i=1..n]a'_iw_i
M_B_B'(f)(y)=M_B_B'(f)(Σb_iv_i)=M_B_B'(f(Σb_iv_i)=Σ[i=1..n]b'_iw_i
となり,=<x,x>にたどり着けません。どうすればいいのでしょうか?
お礼
> βの元 x_ i, x_ j について > < f(x_ i), x_ j > = < x_ i, f(x_ j) > の両辺を成分計算してみれば、 > そのまま a_ ij = (a_ ji)~ という式になります。 有難うございます。 仮定より <f(x_i),x_j>=<x_i,f(x_j)>と書ける。これより <Σ[i=1..n]a_ijx_i,x_j>=<x_i,Σ[j=1..n]a_jix_j> ⇔ Σ[i=1..n]a_ij<x_i,x_j>=(Σ[j=1..n]a_ji)~<x_i,x_j> ⇔ Σ[i=1..n]a_ij<x_i,x_j>=Σ[j=1..n]a_ji~<x_i,x_j> ⇔ (Σ[i=1..n]a_ij-Σ[j=1..n]a_ji~)<x_i,x_j>=0 ⇔ (Σ[i=1..n]a_ij-Σ[j=1..n]a_ji)δ_ij=0(∵{x_1,x_2,…,x_n}は正規直交基底) 今,iとjは任意なので Σ[i=1..n]a_ij-Σ[j=1..n]a_ji=0 ⇔ Σ[i=1..n]a_ij=Σ[j=1..n]a_ji ⇔ (a_ij)(e_1 e_2 … e_n)=(a_ji~)(e_1 e_2 … e_n) (tは転置行列, e_1,e_2,…,e_nは単位ベクトル) ⇔ E_n(a_ij)=(a_ji~)E_n (E_nは単位行列) ⇔ (a_ij)=(a_ji~) でいいのですね。