ノルムの定義のより一般への拡張は?

質問

いつもお世話になっております。

R線形空間Vに対し,下記を満たすf:V→Rなる写像fが採れる時,
そのfをノルムと言い,Rをfによるノルム空間と言う(Rは実数体)。
(i) f(x)≧0;f(x)=0⇔x=0
(ii) f(rx)=|r|f(x) (r∈R)
(iii) f(x+y)=f(x)+f(y)

がノルム空間の定義だと思います。
これをより一般に定義拡張したいのですがその場合

全順序体F上の線形空間Vに対し,下記を満たすh:V→O(Oは全順序環)及びk:F×O→O及びd:F→Fなる写
像h,k,dが採れる時,
そのhを内積と言い,Vをh,k,dによる内積空間と言う。
x,y∈V,f∈F
(i) P(h(x),0_O)=true ;h(x)=0_O⇔x=0_V
(PはOの順序関係、0_O,0_Vは夫々O,Vの零元)
(ii) h(fx)=k(d(f),h(x)) (d(f)=f (Q(f,0_F)=trueの時、d(f)=-f (Q(0_F,f)=trueの時))
(iii) h(x+y)=h(x)+h(y)

で正しいでしょうか?
また、これから更に定義の拡張は可能でしょうか?

宜しくお願い致します。

回答No.3

noname#50894

理解するためには、専門書を一冊読み通す必要があります。

岩波書店から、
・超函数の理論 　原書第3版
・L．シュワルツ
・岩村　聯，石垣　春夫，鈴木　文夫　訳
が出ていたのですが、絶版らしいです。

回答No.2

noname#50894

書き込みが多くて下に下がるのが早いですね。

>これを使ってどのように定義出来るのでしょうか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0
に超関数の説明があります。
真ん中あたりの“厳密な定義”に載っています。

お礼

> ?http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0?
> に超関数の説明があります。
> 真ん中あたりの“厳密な定義”に載っています。

うーん、すいません。よく分かりませんでした。
ご解説お願い致します。m(＿ ＿)m

回答No.1

noname#50894

線形空間にノルムを定義したいという事は、位相構造を入れたいと言うことですね。
それが見えませんね。
付値の概念を入れることにより、このことは可能かも知れません。
しかし公理上矛盾がなくても、利用価値が見えません。

それよりも、あえてノルムを導入しなくても、線形空間に位相構造を導入する
“位相線形空間”の概念の方が、利用価値としては大きいと思います。
例えば、超関数を数学的に厳密に定義する手段としてもこの概念は用いられますが。

お礼

有難うございます。

>“位相線形空間”の概念の方が、利用価値としては大きいと思います。
これを使ってどのように定義出来るのでしょうか?
是非ご教示ください。m(＿ ＿)m