V:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

質問

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
の事です。
fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

んーー，わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

＞∃v∈V＼Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
＞f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが，このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか？
（何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです）

vそのものではなく，
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u，wはKer(f)の元，uは0ではなく，Ker(f)とuは直交
となるようにします．
＃これは有限次元だから可能
＃けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき，
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって，x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから，
0=<x-f(x)/f(u)u,u> （uはKer(f)の直交補空間Uの元）
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか．複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意．

＃内積があれば，双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
＃簡単になるというありがたいお話ですな

お礼

> んーー，わざわざ「射影」といったのに
> 証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

すいません。ググって射影定理見つけましたが読み飛ばしてました。

> vそのものではなく，
> Kef(f)+U=Vのように直交分解して
(snip)
> ＃内積があれば，双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
> ＃簡単になるというありがたいお話ですな

ご説明大変有難うござました。m(＿ ＿)m
よく理解できました。

回答No.2

kabaokaba

これは
「リースの表現定理」
という定理ですので，適当にぐぐれば
証明は見つかります．
ただし，これは普通はヒルベルト空間で考える定理なので，
それを「有限次元内積空間」用に書き換える必要はあります．
＃ほとんど自明ですが。。。
この定理は「射影の存在」が本質です．

お礼

> これは
> 「リースの表現定理」
> という定理ですので，適当にぐぐれば

ご紹介有難うございます。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)
存在性の証明がいまいち分かりませんでした。

(i) V=Ker(f)の時
∀x∈V,f(x)=0で,また0=<x,0>とも書け,勿論<x,0>は線形写像をなす
(<x1+x2,0>=<x1,0>+<x2,0>,<cx,0>=c<x,0>)から
f(x)=<x,0>と書ける。よってy:=0と採れる。
(ii) V≠Ker(f)の時
∃v∈V＼Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)
そして,<x-f(x)/f(v)v,v>=<x,v>-f(x)/f(v)∥v∥^2=<x,v>-f(x)/f(v)<v,v>=<x-f(x)/f(v)v,v>
でこれが0になる事が分かりません。多分(1)を使うのでしょうがどうして(1)から0がいえるのでしょうか?

回答No.1

koko_u_

>この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?
具体的に y を求める必要がないことと、V が有限次元であることに注意するだけです。