x-y+2z=0で表されるxyz空間R^3の平面を

質問

x-y+2z=0で表されるxyz空間R^3の平面をHとする．R^3からR^3への線形写像fは次の条件(i), (ii)を全て満たすとする．
ここで，ベクトルの大きさはR^3の標準内積(ユークリッド内積)により定められるとする．
(i)ベクトルv∈ R^3がHに平行ならばf(v)=-v
(ii)ベクトルw∈ R^3がHに垂直ならばf(w)=2w
このとき，ベクトル
-1
1
4
のfによる像の大きさは6となるそうですが，その理由がわかりません．どなたか教えて下さいませんか．

回答No.1

f272 · ベストアンサー

u=(-1 1 4)^Tとする。
v=(-2 2 2)^Tとw=(1 -1 2)^Tを考えると，vはHに平行で，wはHに垂直であるからf(v)=-v，f(w)=2wである。
f(u)=f(v+w)=f(v)+f(w)=-v+2w=(4 -4 2)^Tであるから|f(u)|=√(4^2+(-4)^2+2^2)=6

お礼

なるほど。理解できました。ありがとうございました。