y1,y2,…ym:一次独立でV=span{x1,x2,…,xn}ならm≦n

質問

[問]体F上の線形空間V∋y1,y2,…ym:一次独立.
V=span{x1,x2,…,xn} (x1,x2,…,xn∈V)
とする時(つまり、x1,x2,…,xnはVのspan set)、
m≦nとなる事を示せ。

[証]
dimV=Lと置くと、L≧mで
(i) L=mの時
V=span{y1,y2,…,ym} 且つ y1,y2,…ym:一次独立
が成立せねばならない(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。
ここでm>nと否定して矛盾を引き出してみる。
その場合,先ず、x1,x2,…xn:一次従属でなければならない(∵dimの定義)。

そこから先に進めません。どう書けばいいのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

QNo.3413858 この写像がwell definedである事の証明
QNo.3413875 y,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

↑これらはどうなったのでしょう？放置状態？

本題．
>(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。
これだけ知ってれば十分です．
まず，L=dim(V)としましょう．
この時点で m <= L です（証明できますか？）．
また，「x1,x2,…,xnはVのspan set」ならば
基底は span setの部分集合だから（証明できますか？）
L <= n
よって，m<=n

ただし，この手の証明は
教科書の定義や論理展開の順番に激しく依存します．
けど，
dimの定義が「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」
であるというならば，
これだけから導出できます．
＃なおこの定義は一般的なものよりもかなり強い定義です．

お礼

大変参考になります。
御回答有難うございます。

> 本題．
>>(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。
> これだけ知ってれば十分です．
> まず，L=dim(V)としましょう．
> この時点で m <= L です（証明できますか？）．

∵
dimの定義
dimV:=max{#{x1,x2,…,xk}∈N;span{x1,x2,…,xk}=V,x1,x2,…,xk:一次独立 (k∈N)}
と
最大値の定義より。

ですね。

> また，「x1,x2,…,xnはVのspan set」ならば
> 基底は span setの部分集合だから（証明できますか？）

∵
{b1,b2,…,bL}を基底とするとb1,b2,…bL∈V(=span{x1,x2,…,xn})なので部分集合の定義から
{b1,b2,…,bL}⊂span{x1,x2,…,xn}

ですね。

> L <= n
> よって，m<=n

納得です。

> ただし，この手の証明は
> 教科書の定義や論理展開の順番に激しく依存します．

そのようです。

> けど，
> dimの定義が「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」
> であるというならば，
> これだけから導出できます．
> ＃なおこの定義は一般的なものよりもかなり強い定義です．

しっかり憶えて置きます。

回答No.2

tecchan22

BBeckyyさん、No１に対するお礼の中でのあなたの証明、目茶苦茶なんで、基本をもっとちゃんと勉強しないといけませんよ。

「span set(基底のことですね）の要素の個数は一定である」
ということは、既に教科書に書いてありますか？

それとも、それを証明するための問題ですか？

それによって、証明が全く異なってきます。

上のことが既出ならば、それを用いて瞬時に示せます。
（No1の方の仰るとおりです。m≦dimV≦n（証明終））

そうでなければ、上のことを示さねばなりません。
しかし、それは線形代数の重要な定理であって、それを「問」で
証明させる、ということは、上級レベルでなければ、ないはずです。

よく教科書を確認してみて下さい。
dimの定義のあたりです。そこをよく理解して下さい。

お礼

ありがとうございます。
おかげさまで解決いたしました。