ヒルベルト空間について

質問

∀ｘ∈H:ヒルベルト空間について

　sup{<x,y>| ∥y∥≦１　ｙ∈H｝=∥x∥

を示したいのですが。

（但し、＜、＞　はHでの内積、∥・∥は内積から入るノルムとします。）

ユークリッド空間ならば、ｙはｘと方向が同じで長さが１のベクトルだということはイメージできるのですが。ヒルベルト空間だとうまく証明できません。よろしくお願いします。

回答No.5

keyguy · ベストアンサー

αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0

そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。

∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・（∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が０すなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき

従って
sup{|<x,y>| ｜0≦∥y∥≦1,x,y∈H}
=∥x∥・∥1∥=∥x∥

なおこの式はHがヒルベルト空間でなくても成立する。
内積の性質だけを使って導いたから当然でしょう。
内積が定義された集合であれば何でも良い。

お礼

お返事遅くなりました。申し訳ありません。大変丁寧な説明ありがとうございます、よく分かりました。

回答No.4

keyguy

釈迦に説法ですが内積の成立要件は

x,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0

そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。

0≦∥y∥^2・（∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は()内が0のときすなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき

従って
sup{|<x,y>| ｜0<∥y∥≦1,x,y∈H}=∥x∥・∥1∥

回答No.3

adinat

ちょっと別解。実は左辺はmaxになるので、
<x,y>≦||x||||y||≦||x||
とy=x/||x||と置くと<x,y>=||x||^2/||x||=||x||となることからわかります。
x=0のときは別にする必要がありますが、そのときは明らかです。

回答No.2

keyguy

きちんと示しましょう。

０≦∥∥ｙ∥＾２・ｘ－＜ｘ，ｙ＞・ｙ∥＾２
より
０≦∥ｙ∥＾２・（∥ｘ∥＾２・∥ｙ∥＾２－｜＜ｘ，ｙ＞｜＾２）

補足

回答ありがとうございます。
申し訳ありません。式の意味がよく分からないんですが教えていただけませんか？よろしくお願いします。

回答No.1

keyguy

λについての実係数２次方程式
∥λ・ｙ－ｘ∥＾２＝０
の判別式が０以下であることを使う。