微分の問題、教えてください

質問

arctan√(1+x)/(1-x)
を、微分するのですが、微分結果と、それに至るまでの過程を教えてください。
みにくいかもしれませんが、ルートの中身は(1+x)/(1-x)です。

回答No.4

nettiw

T=arctanUの微分は、T=arctanU、U=tanT
dU/dT=1/((cosT)^2)=1+((tanT)^2)=1+(U^2)
dT/dU=1/(1+(U^2)) これは蛇足です。
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>> y=arctan√((1+x)/(1-x))
>> x/2√(x^2-1)違うみたいです。

微分は、計算を間違え易いので、
確実にstepを踏むと、
（Ｂ）が原因のような気がします。

合成関数の微分ですから、
y=arctanU、 U=√V、 V=(1+x)/(1-x) と置いて、

(dy/dx)=(dy/dU)(dU/dV)(dV/dx)

(dy/dU)
=1/(1+(U^2))
=1/(1+((1+x)/(1-x)))
=1/( (1-x)+(1+x) )/(1-x) )
=1/( 2/(1-x) )
=[(1-x)/2]

(dU/dV)
=1/(2√V)
=1/( 2√((1+x)/(1-x)) )
=[√(1-x)/(2√(1+x))]

(dV/dx)
=((1-x)+(1+x))/((1-x)^2)=[2/((1-x)^2)]　（Ｂ）
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(dy/dx)
=[(1-x)/2][√(1-x)/(2√(1+x))][2/((1-x)^2)]

2(dy/dx)
=[(1-x)][√(1-x)/√(1+x)][1/((1-x)^2)]
=[1/(1-x)][√(1-x)/√(1+x)]
=1/[√(1-x)√(1+x)]
=1/√(1-(x^2))

(dy/dx)
=1/[2√(1-(x^2))] となります。

回答No.3

info22

質問者さんの解答を補足に書いてください。

＞x/{2√(x^2-1)}
は見ただけで間違いと気づきませんか？
ルート内の条件：x^2-1=-(1+x)(1-x)≧0（x≦-1,1≦x）は
＞arctan√(1+x)/(1-x)
のルート内の条件：(1+x)/(1-x)≧0(-1≦x＜1)と矛盾しています。

正しい解は 1/{2√(1-x^2)} ですが、質問者さんの解答の過程が
わかりませんのでどこで間違われたのか、アドバイスが不可能です。

回答No.2

mamoru1220

ではあなたが導き出した過程を教えてください。

回答No.1

mamoru1220

わかりにくければ、√(1+x)/(1-x)　をAと置きましょう。
arctanA　の微分は　A'/(1+A^2)　です。
あとはAとA'に代入するだけです。

問題を丸投げするのは禁止事項に該当します。
どこまでやって、どこが分からないのか教えてください。

補足

どうやらやり方は間違ってはないようでした。
ですが答えが合いません。なぜでしょう・・・。
ちなみに x/2√(x^2-1)　という答えを導き出してはいたのですが、これが違うみたいです。
正しい答えが知りたいです。