微分の問題です

質問

微分について

x^-2とは、1/x^2のことでしょうか？

また、x^2e^-x
2x^-3logx の二つを微分た計算式の途中過程を教えてください。
解答は前者=(-x^2＋2x)e^-x 後者=2/x^4(1-2logx)です。お願いします

回答No.3

sanori

＞＞＞x^-2とは、1/x^2のことでしょうか？

はい。
x^(-2) と書くほうがよいですが。

まず、微分の法則の復習。

積の微分は、
（ｆｇ）’＝　ｆ’・ｇ　＋　ｇ・ｆ’

合成関数の微分は、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ

＞＞＞　x^2e^-x

x^2・e^(-x)　ですよね？

まずは、準備として、ｅ^(-x) だけ微分します。
ｚ＝ｅ^(-x)　は、ｙ＝ｅ^z　と　ｚ＝－ｘ　の合成関数。
ｄｙ／ｄｚ　＝　ｅ^z
ｄｚ／ｄｘ　＝　－１
よって、
ｙ’＝　ｄｙ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ
　＝　ｅ^z・（－１）
　＝　－ｅ^z
　＝　－ｅ^(-x)

では本番。（積の微分）
（ｘ^2・ｅ^(-x)）’＝　（ｘ^2）'・ｅ^(-x)　＋　ｘ^2・（－ｅ^(-x)）
　＝　２ｘ・ｅ^(-x)　－　ｘ^2・ｅ^(-x)
　＝　・・・
合いました。

＞＞＞　2x^-3logx

２ｘ^(-3)・logｘ　ですよね？
やはり、積の微分。
係数の２は、後で付け直します。
（ｘ^(-3)・logｘ）’＝　（ｘ^(-3)）'・logｘ　＋　ｘ^(-3)・（logｘ）’
　＝　－３ｘ^(-4)・logｘ　＋　ｘ^(-3)・１／ｘ
　＝　－３ｘ^(-4)・logｘ　＋　ｘ^(-4)
　＝　ｘ^(-4)・（－３logｘ　＋　１）
　＝　（１　－　３logｘ）／ｘ^4

２をかけ直して
（２ｘ^(-3)・logｘ）’＝　２（１　－　３logｘ）／ｘ^4
合いませんね。

回答No.2

noname#121811

＞x^-2とは、1/x^2のことでしょうか？
はい、そうです。

公式：
２つの関数ｆ、ｇの微分をそれぞれｆ’、ｇ’とすると
（ｆｇ）’＝ｆ’ｇ＋ｆｇ’
これを使えば全部解けます。

もちろんx^2、e^-x、logxの微分を知ってる必要がありますが、それ位は調べてみて下さい。

回答No.1

kazumasa_0083

はい、そのとおりです。

えとー問題ですが
x^2e^-x
x^2*e^(-x)
ですよね？

ＰＣ上での質問者さんの書き方だと間違った解釈してしまう人もいますので注意してください。…僕だけかな；

y=x^2*e^(-x)
y'=(x^2)'*e^(-x)+x^2*{e^(-x)}'
=2xe^(-x)-x^2*e^(-x)
=(-x^2+2x)e^(-x)

かな。

二つ目なんですが
y=2x^(-3)*logx
y'={2x^(-3)}'logx+2x^(-3){logx}'
=-6x^(-4)logx+2x^(-3)*1/x
=-6x^(-4)logx+2x^(-4)
=2*x^(-4)(1-3logx)

…申し訳ない。解答にあわない。