逆三角関数の微分

質問

ある問題集に
arctan(x)＋arctan(1/x)＝π/2　（x＞0）
となることを証明せよ。

という問題がありました。

解答では
arctan(x)＝α，arctan(1/x)＝β
とおけば
tanα＝x，tanβ＝1/x
となるので、
tan(α+β)＝…
と加法定理を用いると、分母が０になる。よって
α+β＝π/2

となっていたのですが、どうも
「分母が０になるので」
というのが、証明として何となく腑に落ません。

そこで、左辺を微分すると０になることを示せば左辺は定数であり、例えば x＝1 を代入すれば、その定数が　π/2 になることを示せる！
と思ったのですが、
arctan(1/x)
がうまく微分できません。

計算の仕方を入力するのは大変だと思うので、方針だけでもいいので教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

tan^-1xの微分は
(tan^-1x)'=1/(1＋x^2)ですから、
合成関数の微分でいいのではないでしょうか。

[tan^-1(1/x)]'=-(1/x^2)/{1＋(1/x)^2}
=-/(x^2＋1)