arctanの微分

質問

三角関数と微分が絡むとよく分からなくなります。
次の式の微分について分かる人がいたらよろしくお願いします。
f(x)=1/π(arctan(b(x/100-a/100)))

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

>三角関数と微分が絡むとよく分からなくなります。

三角関数の微分は公式を見て覚えましょう（＾＾）；。y=arctanxのxでの微分は公式によりy'=1/(1+x^2)となりますね。今、arctanxのxの中身がゴタゴタしているのでたじろがれているのではないかと思いますが、これは合成関数の微分法というのを使うと簡単にできます。y=f(g(x))という関数があった場合、y=f(z),z=g(x)と置く事ができますね。そこでｙをxで微分する場合、yはzの関数ですから先ずzで微分してり、それからzをxで微分するという、玉ねぎの皮をむくような段取りになります。具体的に書くとdy/dx=(dy/dz)・(dz/dx)。
f(x)=1/π(arctan(b(x/100-(a/100)))に適用するとz=b(x/100-(a/100))としてf(x)=(1/π)arctanz。df(x)/dz=(1/π)/(1+z^2)、dz/dx=b/100、従ってdf(x)/dx==(1/π)/(1+z^2)*b/100。あとはz=b(x/100-(a/100))を代入すればいいですね。

お礼

納得しました。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.1

info22

＞f(x)=(1/π)arctan{b((x/100)-(a/100))}]
で良いですか？
括弧をつけて頂かないと分子か、分母か区別が付きません？
y=f(x)とおくと
πy=arctan{b((x/100)-(a/100))}
tan(πy)=b{(x/100)-(a/100)}
πy'/{cos(πy)}^2=b/100
y'=f'(x)={b/(100π)}{cos(πy)}^2
={b/(100π)}/[1+{tan(πy)}^2]
={b/(100π)}/[1+(b^2){(x/100)-(a/100)}^2]

お礼

初質問で括弧の付け方が甘かったようです。指摘と回答ありがとうございました。