微分について

質問

y(x,t)=2*arctan[sqrt{(t+1)/(t-1)}*sqrt{(1-x)/(1+x)}]-π
の両辺をtで微分するだけの問題なのですが、
arctanθの微分公式をそのまま使って展開しても、
右辺が
sqrt{(1-x)/(1+x)}*[{1/(t^2-1)}+sqrt{(t+1)/(t-1)}*{1/(x-t)}]
の形までたどり着けません。
うまく計算するコツなんかありますか？
根性でちまちま解くしかないのですか？
芸術的な解放をお待ちしております。

回答No.1

0123456789A · ベストアンサー

まず、arctanの公式を使うなんて下品なことはやめましょう。
右辺をarctanのみの式にして両辺にtanをとります。
微分はそれから。
ここで両辺微分すると、
(左辺)=[cos((y+pi)/2)]^(-2)* dy/dt
となります。右辺は普通に微分出来る形だと思います。
ここで、一般に
cos(arctan(x))=1/sqrt(1+x^2)
なので、左辺の三角関数が消えます。
あとはdy/dt=.......
の式に直せば完了です。

お礼

スマートなやり方で、感動しました。
しかし、結局、計算量としては、当初考えていた私の解法と同じくらいになったような気がします。
ともかく、いろいろな視点から解くことができたので満足しています。
ありがとうございました。