f:R^n→R^mに対したf^-1(0)は・・・

質問

f:R^n→R^mに対して、f^-1(0)＝{ｎ∋R^n｜f(x)＝0}はR^nの部分ベクトル空間であることを示したいのですが解法が皆目検討つきません。
とりあえずfの逆写像がf^-1だとは思うのですが。。。
そもそも写像についてなかなか理解できません。
特に僕が勉強不足であるのは承知の上で、ご教授していただけないでしょうか。
宜しくお願いします。

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

部分空間の定義から、下の命題が証明出来れば良いです。
・α,β∈Rかつx,y∈f^-1(0)のとき、αx+βy∈f^-1(0)が成立する。

お礼

遅くなり申し訳ございません。
おかげさまで証明することができました。
ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

f は R^n から R^m への「線型写像で」という前提ですよね？
証明のやり方は、A No.1 さんが示しておられる通りです。

f^-1 についてですが、
f^-1(0) と書くのは単なる記号で、
質問文中にある通り {x∈R^n｜f(x)＝0} という集合を f^-1(0) と書く
習慣があるだけです。

本来は、集合関数として f^-1({0}) と書くべき筋のものなのかもしれませんが、
普通は、f^-1(0) と書きます。

f が一般の線型写像であれば、
無論、逆写像 f^-1 が存在するとは限りませんし、
f^-1(0) は、逆写像 f^-1 による 0 の像という意味ではありません。

お礼

遅くなり申し訳ございません。
意味を履き違えていました。
ありがとうございます。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

問題がおかしい（というか、f の条件が足りない）気がしますが。
たとえば、f(x) = 1 (x が整数の時）, 0 （x が整数でないとき）
という写像だと（n = m = 1 です） f^-1(0) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} は、 R 上でベクトル空間を構成しませんから。
何か、f の条件が抜けていませんか（というのが、ヒント）

お礼

遅くなり申し訳ございません。
おかげさまで証明することができました。
ありがとうございます。