線型２

質問

写像の例を挙げよっていう問題です。
ｘを実数とする。
ｆ：ｘ→ｘ＋２
例えば、ｘ＝１のとき　ｆ（１）＝３
これで大丈夫ですか？？

つぎに、K上のｎ次元ベクトル空間Vと、ｎ次元数ベクトル空間ｋ＾ｎとの対応は、全単射である事を示せ。という問題は全然わからないので、教えてください。

回答No.1

noname#221368

まず全単射の意味は了解済みと仮定します。また、例えばf(1)＝3もOKと思います。

　体Ｋ上のｎ次元ベクトル空間Ｖですが、適度に一般的な例としては、体Ｋ＝Ｒで考えれば十分です。これは、
　　v = k1・v1＋k2・v2＋・・・＋kn・vn
と書かれる式vの全体、Ｖ＝{v}の事です。ただし、viはＶの基底で、ki∈Ｒはその係数となります。
　例えば、Ｒ上の3次元ベクトル空間Ｖ（じつは、3次元数ベクトル空間Ｒ^3です）の「点」を(x，y，z)と書いた場合、e1＝(1，0，0)，e2＝(0，1，0)，e3＝(0，0，1)として、
　　v＝(x，y，z)＝x(1，0，0)＋y(0，1，0)＋z(0，0，1)＝x・e1＋y・e2＋z・e3
となるので、この場合は、x→k1，y→k2，z→k3で、e1→v1，e2→v2，e3→v3という対応になります。つまり、係数は座標値に、基底は座標軸に相当するもの（の一般化）とみなせます。この対応に注意すれば、全単射の構成はほぼ自明です（「構成するんだ！」という意識を持って下さい）。

　Ｋ上のｎ次元ベクトル空間Ｖの基底を{vi}，ｎ次元数ベクトル空間Ｋ^nの基底を{ei}とします。{vi}と{ei}の個数はいっしょです。φ：Ｋ^n→Ｖかつφ：vi→eiかつ線形とします。この線形写像によって、任意のx∈Ｋ^nは、
　　φ(x)＝φ(k1・e1＋k2・e2＋・・・＋kn・en)
　　　　　＝k1・φ(e1)＋k2・φ(e2)＋・・・＋kn・φ(en)
　　　　　＝k1・v1＋k2・v2＋・・・＋kn・vn
に写ります。φが全単射であることの証明はやたらと長いだけなので、後は書きません。