tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ

質問

A:R^n→R^nは逆写像を持つ線形写像とする。
<,>:R^n×R^n→Rを内積とする。
tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ。
(tは転置の意味)

tAAが対称である事は
<tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義)
=<x,tAAx>
と示せたのですが

0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0がどうしても示せません。
どのようにすればしめせますでしょうか?

回答No.3

ringohatimitu · ベストアンサー

Aは正則なんですね。では
〈tAAx,x〉=∥Ax∥^2≧0,
〈tAAx,x〉=0⇒∥Ax∥=0⇒Ax=0⇒x=0
でどうでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
解決できました。

回答No.4

Tacosan

#3 をもうちょっと詳しく書くと
<tAAx, x> = <Ax, t(tA)x> = <Ax, Ax>
ですね.

お礼

ありがとうございます。
解決できました。

回答No.2

Tacosan

「tAAが対称である事は
<tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義)
=<x,tAAx>
と示せたのですが」
と言ってますけど, 今は「tAA が対称」という条件なので示す必要はないかもしれません.
ところで
<tAAx,x>=<x,t(tAA)x>
という式はどこから出てきたんでしょうか? 第1項 tAAx のうち tA だけを第2項に移すことは可能でしょうか?

お礼

ご回答ありがとうございます。

> <tAAx,x>=<x,t(tAA)x>
> という式はどこから出てきたんでしょうか?

線形写像M:V→Vとしv,w∈Vに対して
<Mv,w>=<v,Nw>なるNが一意的に存在する。この時このNをMの随伴と言い,M*(複素数体上の線形空間の場合)もしくはtM(実数体上の線形空間の場合)と表記する。
そして特にM=M*の時,MはエルミートもしくはM=tMの時は対称と呼ぶ。

です。

回答No.1

ringohatimitu

対角化できることを用いてよいのであれば簡単に示せますが。

お礼

> 対角化できることを用いてよいのであれば簡単に示せますが。

マジですか!
是非,対角化での証明をお教え下さいませ。m(_ _)m