連続単射

質問

いかにも大学教養レベルの位相の問題なんですが、少し混乱してしまっています。どなたかご教示いただけたらと思います。

R^n→R^mへの連続単射fがあったとします。疑問点は三つです。
(i)m≧nか？像f(R^n)に制限すれば連続全単射になります。したがって局所コンパクトからハウスドルフへの連続全単射が存在することになって、局所同相ですが、m<nならそれは位相的にあり得ないように思います。この論証は正しいですか。
(ii)上のことが正しいとして、m≧nを仮定します。一般にfは閉写像ではないと思います。たとえばm=n=1ならf(x)=e^xとおけば、閉集合Rを開集合(0,∞)にうつすからです。一般のm,nではこれも少し自信がありません。閉写像にならない反例は常にあげられるでしょうか。
(iii)またm>nなら単純な埋め込みf(x)→(x,0)(残りの成分を0とおく)、を考えれば、開写像でないのは明らかですが、ではn=mのときはどうか。これがいちばん知りたいことですが、たとえばn=m=1のとき、R上の連続単射を考えていることになって、fは狭義単調。したがって逆もまたそうであって、像に制限すれば同相です。特にR上の単調関数は開区間を開区間にうつします。問題はn=m>1のときで、これもやはり開写像になるのでしょうか。局所同相がきちんと言えると示せなくもないような気がするのですが、困っています。

回答No.1

grothendieck

「R^n→R^mへの連続単射fはm≧nのとき連続全単射」
というのは成り立たないように思います。R^1からR^2への全射はペアノの曲線を使えば構成できると思いますが、単射にはなりません。「R^n→R^mへの任意の連続単射fはm≧nのとき連続全単射」というのはもちろん成り立たないと思います。私の誤解があるかもしれませんので補足をお願いします。

補足

「R^n→R^mへの連続単射fはm≧nのとき連続全単射」という主張はしていません。もし連続単射fがあったとして、f:R^n→f(R^n)が連続全単射になる、と自明なことを書いてあるだけです。