合成関数｛ｆ(ｇ(ｘ))｝の微分についての次の証明は、厳密に言うと間違

質問

合成関数｛ｆ(ｇ(ｘ))｝の微分についての次の証明は、厳密に言うと間違っているらしいです。
どこがおかしいのか教えてください。

　lim(ｈ→０) ｆ(ｇ(ｘ＋ｈ))－ｆ(ｇ(ｘ))/ｈ
＝lim(ｈ→０) ｆ(ｇ(ｘ＋ｈ))－ｆ(ｇ(ｘ))/ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)・ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)/ｈ

ここでｇ(ｘ)＝ｔ、ｇ(ｘ＋ｈ)＝ｔ＋ｓとおくと、ｓ＝ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)だから
ｈ→０のときｓ→０である。よって

　lim(ｓ→０) ｆ(ｔ＋ｓ)－ｆ(ｔ)/ｓ・lim(ｈ→０) ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)/ｈ
＝ｆ´(ｔ)ｇ´(ｘ)＝ｆ´(ｇ(ｘ))ｇ´(ｘ)

回答No.6

rabbit_cat

他の回答にもあるように、問題点は、
つまり、g(x) が、xの周りで一定値だったらどうなのか、
（ ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ) = 0 になんで、割れない ）
ということなわけです。

昔同じような質問に答えました。
http://okwave.jp/qa/q5395029.html

回答No.5

alice_44

値の計算は概ねそれでよいが、
収束性に関する議論が抜け落ちている。

厳密さを要求するのならば、
lim を二つの lim の積へ分解する際に、
分解した両方の lim が収束することを
示しておかなければいけない。

右辺左側の lim の収束は、f の微分可能性から
示せるが、その工程を少し記述しておいたほうが、
理解も深まるし、答案としての好感度も高いはず。

回答No.4

noname#113983

ゲンミツガドウノコウノヨリモ、シッカリショウメイスルノナラバ
シッカリ、g(x)ガレンゾクカツビブンカノウナノデ
「ｈ→０のときｓ→０である」ノト「lim(ｈ→０) ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)/ｈ＝g'(x)」
トイウコトヲイワナイトイケマセン。
ソレガワカッテカイテアルナラバオッケイダ。

回答No.3

hugen

http://hasegawa.ac/express/diary2001.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1317-4.pdf

回答No.2

htms42

高木貞次「解析概論」第２章微分法　１５　合成関数の微分
に関係のありそうな記述があります。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

「厳密に言うと」とのことですので、おそらく次のところかと。
lim(ｓ→０) ｆ(ｔ＋ｓ)－ｆ(ｔ)/ｓ・lim(ｈ→０) ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)/ｈ

h→ 0のとき、s→ 0になることを述べているので、
lim[h→ 0] { f(t+s)- f(t) }/s・{ g(x+h)- g(x)}/h

とすればよいと思います。

要は、hが 0に近づくと「同時に」sも 0に近づくことになるので、
h→ 0, s→ 0と別々に極限を取るのではなく、h→ 0だけでよいということだと思います。

過去に似たような質問もありましたので、一応URLをつけておきます。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5835768.html