証明問題

質問

g(x+y)=g(x)+g(y) 　(x,y≧0)
を満たす関数について、g(x)の定積分を
f(x)=∫[0→x]g(u)du　
としたときに、
f(x+y)-f(y)=f(x)+xg(y)
を満たすことを証明したいのですが、色々考えてみても
分かりませんでした。最終的にg(x)を求めよ、という問題の形式なので
g(x)が一次関数であると決め付けて解くのはいけないようですが、
どのような解法があるでしょうか？

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

>g(x+y)=g(x)+g(y) 　(x,y≧0)　を満たす関数について、g(x)の定積分を
>f(x)=∫[0→x]g(u)du　としたとき ....

　　f(x+y)=∫<0→(x+y)> g(u)du = ∫<0→y> g(u)du + ∫<y→(y+x)> g(u)du
と分割してみよう。

右辺の初項は f(y)。
後の項は w = u-y として、
　　∫<y→(y+x)> g(u)du = ∫<0→x> g(w+y)dw

前提により、g(w+x) = g(w)+g(x)　を満たすから、
　　∫<0→x> g(w+x)dw = f(x) + xf(y)

お礼

f(x+y)=∫<0→(x+y)> g(u)du = ∫<0→y> g(u)du + ∫<y→(y+x)> g(u)du
この分割は試していたのですが、変数変換すれば良かったのですね。
よく理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

gが微分可能なのはどうして？
質問文からは「積分可能」くらいしか読み取れません．
＃単に条件が落ちてるだけ？

具体例は忘れたけども，少なくともg(x+y)=g(x)+g(y)を満たしている
微分不可能な関数は存在したと思う

お礼

確かに、問題文では積分の存在を仮定する、とは述べていますが、
微分については何も触れられていません。

g(x+y)=g(x)+g(y)を満たしている微分不可能な関数
というのは興味深いですね。
ありがとうございました。

回答No.2

take_5

g(0)＝0であるから、g(x+h)-g(x)＝g(h)-g(0)　において、h→0として両辺の極限値をとると、微分の定義（　lim[h→0]｛f(x+h)-(x)}/h=f'(x)）を使って、g´(x)＝g´(0)＝aであるから、g(0)＝0よりg(x)＝ax　（aは定数）。

以下は、出来るでしょう。

お礼

そのような考え方もあるのですね。
参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

take_5

最初から最後まで、微分の定義に立ち返れば良い。
そうすれば、

＞g(x)が一次関数であると決め付けて解くのはいけないようですが、

決め付けなくても、証明できる。

補足

微分の定義というのは
lim[h→0]｛f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)
というものでしょうか。それとも
f(x)=∫[0→x]g(u)du　のとき、
f'(x)=g(x) が成り立つというものでしょうか。
もう少しヒントを教えていただけると有難いです。