数学の問題で解答が適切かわからなくて困っています

質問

困っているのは↓の問題です

「f(t)を連続関数、ｘを実数として、関数g(x)を次のように定義する。

g(x)＝∫(0→1)｜f(t)－ｘ｜dt （ｔについて0から1までの積分です）

f(t)は微分可能な単調増加関数で、その逆関数も微分可能とし、a＝f(1/2)とおく。
このとき、g(x)はx=aで最小値を取ることを証明せよ」

模範解答では、ｘの値で場合分けをして、計算からdg(x)/dxがx=aにおいて符号変化することを示しているのですが、

f(x)が単調増加であることから、∫(0→1)｜f(t)－ｘ｜dt がｘ＝f(1/2)において最小であることがグラフの図示によってわかるとおもうのですが（「大学への数学」における「はみ出し削り論法」というやつです）、この問題においてこの解法では論理的に不足があったり飛躍があったりしますか？

回答No.4

snaporaz

自分でグラフを描くのもなんなので、いいサンプルがないか探してみました。

http://www10.plala.or.jp/mondai/columun/jimei.pdf
http://www10.plala.or.jp/mondai/columun/jimei_2.pdf

作者がちょっと不明なのですが・・・。

あなたの質問はこの２ページめの最後のような「やけにあっさりした視覚的な証明」を使ってもいいのだろうか、ということだと理解していました（補足ではちょっと主旨が変わっている気もしますが・・・）。

私はf(0)が例えば-20,000で、f(1)が５億だったらどうプロットするつもりかと思ったのが＃２でしたが（建築屋なので寸法が気になります）、なるほどスケール感をまったく無視すれば、グラフ化もそれなりに可能ですね。直線をスライドさせる「はみ出し削り」も、少なくとも視覚的な破綻は見当たりません。

しかし私が言いたかったのは、このリンク先の前段と同じことです。

「抽象的な単調増加関数」にもはみ出し削りを使おうとするなら、それは「補助定理」にあたるのではないか、と。「補助定理を自明とすればはみ出し削りをそのまま適用できる」けれど、それでは「証明せよ」という設問に対しては弱いのではないか（補助定理から証明すべきではないか）、ということです。

なので「いきなりはみ出し削りでグラフから」ではほとんど点は期待できず、大数の例題と同様の数式による論証（補助定理の証明）ができれば点数をもらえるだろう、と考えます。

ちなみに、私はかつて、大数の「飛び道具」はエレガントだけれど時にやりすぎで危うい感じもしたので、どっしりと本格的な「黒大数」もやって、解法を２つ用意するよう心がけていました。自分の中でバランスをとろうとしていたようです。傾向としては、「求積の東大」では飛び道具にも寛容だけど、「論証の京大」では厳密な論理展開を好む、という印象が少なくともかつてはありました。

※蛇足になりますが、上の（補足ではちょっと主旨が変わっている気もしますが・・・）について。

質問本文では「はみ出し削りを使ってもいいのか」が主旨でしたが、補足では「はみ出し削りを適用できるという証明（大数の例題）と同じ手続きでいいのか」に、微妙に変わっています。

「はみ出し削り」を持ち込むというのは相当な上級者だと思うので、あえて細かいコメントをつけておきます。私も「抽象関数では証明できない（仮にできたにしても高校生には難しいだろう）」と根拠なく思い込んでいて、そう書いてしまいましたが。

回答No.3

snaporaz

はみ出し削り法は「ふさわしくない」と書いたのです。この質問は、「～であることを証明せよ」です。

大数によると　抽象的な単調増加関数についても「はみ出し削り」が成り立つことが証明されている

のですよね。この命題は証明されるべきものである、つまりその証明法、導出の過程を示すことこそが質問文中の設問だったのではないでしょうか。はみ出し削りをはみ出し削りで証明することはできません。

「二次方程式の解がx=・・・であることを証明せよ」を、「二次方程式の解の公式は成り立つことが証明されているので、これを適用し自明」としたら得点にならないのと同じです。

「はみだし削り」は「幾何」なので、「直感的には正しい」と思えても、「概念の証明」をこれで押し切るのは無理があるでしょう。「グラフの図示」がきっちりできているのであればそれも証明の助けにはなるでしょうが、「グラフの図示によってわかるとおもう」ではどう証明したのか見えません。大数でもグラフだけで説明してあるわけではないでしょう。

設問が「その最小値を求めよ」であれば、あなたにとっては既知のはみ出し削りを用いても点にはなるでしょう。

補足

私の力不足でよくわからないのですが、結局のところ数式処理できればいいということですか？

追記
下記の例題は
「ｙ＝ｆ（ｘ）は０≦x≦aにおいて増加であるとき、∫(0→1)｜f(x)－t｜dx　（0<t<f(a)）　はｔ＝ｆ（ｘ）をみたすｘをu(t)としてu(t)＝a/2の時最小になることを証明せよ」です。この例題の解答例では∫(0→1)｜f(x)－t｜dxをy軸方向の積分で表して、tで微分して評価しています。　

要は、全体の質問として聞きたかったことは、本問はこの例題と同じではないのですか？、ということです。

回答No.2

snaporaz

f(t)が単調増加であるということは、f'(t)>0ということではありますが、本体f(t)の挙動範囲を特定するものではありません。

「はみ出し削り」はグラフ化（視覚化）できる関数では有効ですが、f(t)などという得体の知れない関数にはふさわしくありません。「グラフの図示によって」とありますが、どんなグラフを描くのですか？x=f(1/2)はそのグラフでどこに位置するのでしょうか。f(0)とf(1)の中点にあるわけではないのです。

補足

「大学への数学」の「大数ハンドブック必須手法の紹介」のP20の例題5にあるように、抽象的な単調増加関数についても「はみ出し削り」が成り立つことが証明されているのですが、それでも駄目なのでしょうか？
その例題では、本問題にあたるg(x)をy軸方向への積分で表して、本問題にあたるｘで微分して、その微分したあとの式が0の時を考えると証明出来るとしています。

回答No.1

kacchann

大丈夫な気がするけど…。
(論理的な破綻は見つからないような)

でも、
ぼくはあんまり数学得意でないので、
見落としや勘違いがあるかも。

数学のカテで
なるべく図を添えて、質問したほうがいいかも。
数学のカテの常連回答者さんは、
「はみだしけずり」と言っても、
何のことだかわからないだろうから。
わかる人もいると思うけど。
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ただ、はみだしけずりで、
面積の増減量を議論する場合、
図と言葉で説明するだけでなく、
数式を持ち出したほうが減点くらいにくい気がします。

あと、採点官に
「この答案、なにやってるかわからん」
と思われると0点なので、
そこは気をつけて、
丁寧に説明する必要があると思います。
採点官は、はみだしけずり論法しらないからね。