高次方程式(大学受験の数学)の問題です。ご解答お願いします。

質問

高次方程式(大学受験の数学)の問題です。ご解答お願いします。

高次方程式(大学受験の数学)の問題ですが、(1)以外、全く分かりません。
チャート等で調べてもみましたが、似たような問題がありませんでした。
よろしければ、どなたか、教えていただければ幸いです。

[問題]
f(X)=X3－X2－4X－1とおく。
(1)　方程式f(X)=0の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ。
(2)　方程式f(X)=0の全ての実数解aに対して
　　　f(x)=(X－a)｛X2＋g(a)X＋h(a)｝が成り立つような、2次以下の整式g(t)とh(t)を求めよ。
(3)　aを方程式f(X)=0の実数解とするとき、
　　　a2－2a－2と－a2＋a＋3もまた方程式f(x)=0の解であることを示せ。
(4)　aを方程式f(x)=0の最大の実数解とするとき、a2－2a－2と－a2＋a＋3の符号はそれぞれ正、負のどちらであるか、理由も含めて答えよ。

[解答]
(1) 正の実数解は1個、負の実数解は2個
(2) g(t)=t－1、h(t)=t2－t－4
(3) 略　(4) ともに負、理由略

X2, X3, a2, t2の数字は指数を表しています。ワードで表示されたものが、この画面では正しく表示されませんでした。ご容赦いただきたいと思います。

よろしくお願いします。

回答No.5

mister_moonlight

書き込みミスもあるから、説明の訂正と補足をしておく。

(3)　(2)から、方程式：x2＋g(a)x＋h(a)＝0　の2解をα＝a2－2a－2、β＝－a2＋a＋3　(αとβが逆でも同じ)　とすると、α＋β＝g(a)＝1-a、αβ＝h(a)＝a＾2-a-4　となると良い。
但し、a＾3－a＾2－4a-1＝0を使う。　　
α＋β＝(a2－2a－2)＋(－a2＋a＋3)＝1-a、
αβ＝(a2－2a－2)*(－a2＋a＋3)＝展開して＝-a＾4＋3a＾3＋3a＾2-8a-6＝(2-a)*(a＾3－a＾2－4a-1)＋(a＾2-a-4)＝a＾2-a-4　である。
よって、αとβ、つまり、a2－2a－2と－a2＋a＋3もまた方程式f(x)=0の解である

お礼

解答していただき、ありがとうございます。

この質問に対して他の方から厳しい意見もいただき、意地でも自力で解決しようと決意、土日に折をみて考え、なんとか自力で解決できました。

(2)は、最初に考えたメモを見返すと、気づくものがあり解決。(3)が解けなかったことから、(4)は最初から放棄していました。しかし、よくみてみると、(1)と関連していることが分かり、難なく解決。(3)は、なかなか解けませんでした。３つの解をかけると１になるはずなのに、－a5等が出てきて訳が分かりませんでした。しかし、a3－a2－4a－1=0であることから、これに何をかけても0になることに気づき、－a2などをかけて引くことによって、消すことができて解決しました。

mister_moonlightさんの解答も参考にさせていただきたいと思います。
今後もよろしくお願いいたします。

回答No.4

alice_44

(3)は、単に代入すれば確認することができる。

これにより、f(x) が一次式３個の積で書けるので、
部分的に展開すれば、(2)の係数が判る。

(4)は、(1)と同一の問題。

お礼

解答していただき、ありがとうございます。

この質問に対して他の方から厳しい意見もいただき、意地でも自力で解決しようと決意、土日に折をみて考え、なんとか自力で解決できました。

(2)は、最初に考えたメモを見返すと、気づくものがあり解決。(3)が解けなかったことから、(4)は最初から放棄していました。しかし、よくみてみると、(1)と関連していることが分かり、難なく解決。(3)は、なかなか解けませんでした。３つの解をかけると１になるはずなのに、－a5等が出てきて訳が分かりませんでした。しかし、a3－a2－4a－1=0であることから、これに何をかけても0になることに気づき、－a2などをかけて引くことによって、消すことができて解決しました。

alice_44さんの解答も参考にさせていただきたいと思います。
今後もよろしくお願いいたします。

回答No.3

mister_moonlight

(2)　右辺を展開して、係数を比較すると、g(a)＝a-1、h(a)＝a＾2-a-4　となる。
(3)　(2)から、-g(a)＝-a＋1、h(a)＝a＾2-a-4　となると良い。
　　g(a)＝(a2－2a－2)＋(－a2＋a＋3)＝1-a、h(a)＝(a2－2a－2)*(－a2＋a＋3)＝a＾3－a＾2－4a　　－1　を使って次数を下げてやると＝a＾2-a-4　である　。
(4)　aが最大実数解から(1)より　a＞0.　他の解をα、βとすると、解と係数から、aαβ＝1
　　よつて、αβ＞0　2解は負から　α＜0、β＜0.

回答No.2

noname#121794

似たような問題がなかったから分かりませーんじゃなくてさ。
(数学ができるようになりたいならそんな考えではダメ。)
(2)
f(X)=X^3－X^2－4X－1
=(X－a)｛X^2＋g(a)X＋h(a)｝となるg(a),h(a)を定めると
f(a)=0より
f(X)=f(X)-f(a)=X^3－X^2－4X-(a^3－a^2－4a)
=(X-a)(X^2＋aX＋a^2)-(X-a)(X＋a)-4(X-a)
=(X-a)(X^2＋(a-1)X＋a^2-a-4)
よってg(a)=a-1, h(a)=a^2-a-4
これをa=tとすればOK
(3)
(2)を利用して
X^2＋(a-1)X＋a^2-a-4=0
これにX=a2－2a－2,－a2＋a＋3 を代入すれば分かる。

(4)a>0とする
(1)で正の実数解が一つあることが分かっているので
f(9/4)=-55/64<0,
f(5/2)=17/8>0
したがって9/4<8/3<a<5/2
このときa2－2a－2＝(a-1)^2-3で8/3<a<5/2
では　
－a2＋a＋3<0
また－a2＋a＋3＝-(a-1/2)^2＋13/4で8/3<a<5/2
では－a2＋a＋3<0

a<0のとき
a2－2a－2,－a2＋a＋3<a<0
より　a2－2a－2<0 かつ　－a2＋a＋3<0
すなわち(1＋√13)/2<a<1＋√3
になるが、a<0より適さない。
だからともに負。

お礼

解答していただき、ありがとうございます。

土日に折をみて考え、なんとか自力で解決できました。

(2)は、最初に考えたメモを見返すと、気づくものがあり解決。(3)が解けなかったことから、(4)は最初から放棄していました。しかし、よくみてみると、(1)と関連していることが分かり、難なく解決。(3)は、なかなか解けませんでした。３つの解をかけると１になるはずなのに、－a5等が出てきて訳が分かりませんでした。しかし、a3－a2－4a－1=0であることから、これに何をかけても0になることに気づき、－a2などをかけて引くことによって、消すことができて解決しました。

Matrix3600さんの解答も参考にさせていただきたいと思います。

ところで、ほとんどの問題は自分で解いています。自力で解けないときは、チャート等の参考書を参考にしていますが、それでも解決できないときは、このコーナーを利用させていただいています。

数学に関しては、分からないときはすぐに解答をみたり、あるいは最初から解答を丸暗記する方法や、それとは正反対に自分で解けなければ意味がないという両極端な意見がありますが、どの程度考えるべきか、解説に頼るべきかは、ケースバイケースだと思います。

今後もよろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan

(2) と (3) についてなぜ困るのか理解できない....
ヒントだけ:
(2): 割れ.
(3): 「方程式 f(x)=0 の解」であることを示す, もっとも単純な方法は?
(4): これは問題製作者の意図がわかれば簡単. 解と係数の関係.