写像の問題なのですが、いまいち理解できません…

質問

写像の問題なのですが、いまいち理解できません…
どなたか解説をお願いします。

1.ｆ1～ｆ5をそれぞれ次の式で定義された実数から実数への写像とする。これらの値域を答えなさい。
　さらに全単射、単射、全射、単射でも全射でもどちらでもないのいずれであるか答えなさい。
またグラフも描きなさい。

ｆ1(x)=x+1
f2(x)=x^3
f3(x)=x^3-x
f4(x)=a^x (a≠1、a>0)
f5(x)=x^2

2.ｆ，ｇ，ｈは実数から実数の写像でf(x)=x-2，g(x)=3x，h(x)=sinxとする。
　このとき、ｆ・ｇ・ｆ　と　ｈ・ｇ・ｆ　と　ｇ・ｈ・ｆ　を求めなさい。

この2問です。解説お願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

f:X→Y
fは全射←def→(すべてのb∈Y　に対して　b=f(x) となる　x が存在する)
fは単射←def→( {x_1,x_2}⊂X　&　f(x_1)=f(x_2) 　→　x_1=x_2 )
fは全単射←def→(fは全射&fは単射)
1.
f1
すべてのb∈R(実数)　に対して
x=b-1 が存在してf1(x)=f1(b-1)=(b-1)+1=b→f1は全射
{x_1,x_2}⊂R & f1(x_1)=f1(x_2)→x_1+1=x_2+1→x_1=x_2→f1は単射→f1全単射
f2
b∈R　x=b^{1/3}
が存在して f2(x)=f2(b^{1/3})=(b^{1/3})^3=b → f2は全射
{x_1,x_2}⊂R & f2(x_1)=f2(x_2)→(x_1)^3=(x_2)^3
→(x_1-x_2)((x_1+x_2/2)^2+3(x_2^2)/4)=0
((x_1+x_2/2)^2+3(x_2^2)/4)=0のときx_1=x_2=0
((x_1+x_2/2)^2+3(x_2^2)/4)≠0のときx_1-x_2=0
→x_1=x_2→f2は単射→f2全単射
f3
b∈R　に対して　K>1+|b| となる　K があり
f3(-K)=-K(K^2-1)<-|b|≦b≦|b|<K(K^2-1)=f3(K)
f3(-K)-b<0<f3(K)-b でf3連続だから中間値定理により
-K<x<K　,　f3(x)-b=0 となるxがあるからf3は全射
f3(0)=f3(1)=f3(-1)=0 だからf3は単射でない
f4
f4(x)=a^x>0 だから値域は{y|y>0}で全射でない
{x_1,x_2}⊂R & f4(x_1)=f4(x_2)→a^{x_1}=a^{x_2}→x_1=x_2→f4は単射
f5
f5(x)=x^2≧0 だから値域は{y|y≧0}で全射でない
f5(1)=1=f5(-1) だからf3は単射でもない
2
f(g(f(x)))=3(x-2)-2
h(g(f(x)))=sin(3(x-2))
g(h(f(x)))=3(sin(x-2))

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
定義、定理がわかりやすく書いてあって理解することが出来ました。
ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

どう書こうと最終的には「定義より」で終わってしまうので, 自身で教科書なりなんなりを読んだ方がいいと思います.
答だけ書くと f4 は単射, f5 は全射でも単射でもありません. いずれもグラフを描けばほぼ明らか.
2 の方も, f・g などの定義を確認してください.

お礼

回答ありがとうございます。もう一度定義を確認して解いてみることにします。
答えだけでも答え合わせができるのでありがたいです。
アドバイスありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「いまいち」ということだから, 「大部分は理解できてる」ってことだよね. それなら解けても全然おかしくんないだけど....
どこが理解できない?

補足

すいません…ほとんどわからない状態です…
とりあえずｆ1からｆ3は写真のようになると思うのですが、値域はこのような表し方でよいのかと、またグラフや全射などがこんな感じでよいのかと思い書き込みをさせてもらいました。

それ以降の問題、またｆ1～ｆ3の問についても解説をいただいてもっとよく理解したいと思いますので解説お願いしたいです。