Xの累積分布関数F(x)を求めF(x)のそれに沿ったグラフを描け

質問

こんにちは。
[Q] Let p_X(x) be the pmf of a random variable X.Find the cdf F(x) of X and sketch its graph along with that of F(x) if:
(1) p_X(x)=1,x=0,zero elsewhere
(2) p_X(x)=1/3,x=-1,0,1,zero elsewhere
(3) p_X(x)=x/15,x=1,2,3,4,5,zero elsewhere

「[問]p_X(x)を確率変数Xの確率質量関数とする。Xの累積分布関数F(x)を求め,F(x)のそれに沿ったグラフ
(1) p_X(x)=1,x=0,それ以外は0
(2) p_X(x)=1/3,x=-1,0,1,それ以外は0
(3) p_X(x)=x/15,x=1,2,3,4,5,それ以外は0
を描け」

がなかなか解けません。
[(1)の解]
F(x)=
1 (t=0の時)
0 (t<0の時)
0 (t>0の時)

[(2)の解]
F(x)=
0 (x<-1の時)
1/3 (x=-1の時)
0 (-1<x<0の時)
1/3 (x=0の時)
0 (x=0の時)
1/3 (x=1の時)
0 (x>1の時)

[(3)の解]
F(x)=
0 (x<1の時)
1/15 (x=1の時)
0 (1<x<2の時)
2/15 (x=2の時)
0 (2<x<3の時)
1/5 (x=3の時)
0 (3<x<4の時)
4/15 (x=4の時)
0 (4<x<5の時)
1/3 (x=5の時)
0 (x>5の時)

とかしてみたのですが…どうやって解けばいいのでしょうか?

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1,#2です。
δ関数（Dirac's delta function）は
数学上の以下の性質を有する仮想の関数ですから実際には存在しませんし、グラフにかけません。
δ関数の積分形の定義は
任意の正数εに対して　∫[-ε,ε]δ(x)dx=1
　（幅はないが積分すると１、つまり面積1という言葉で表現されます。）
別の定義では
　δ(x)=lim[a→+0] (1/a){u(x+a/2)-u(x-a/2)}
また微分形式の定義では
　δ(x)=du(x)/dt
です。ここで
u(x)は単位ステップ関数で、Heviside関数H(x)とも呼ばれる関数です。
u(x)=0(x<0),u(x)=1(x>0)
u(0)は用途により　
u(0)=1（過渡現象など）
or
u(0)=1/2(フーリエ級数展開)
とされる場合があります。

limの中は、幅a,高さ1/aの面積１の単一矩形波です。
aをゼロ(+0)にした極限がδ関数です。a→+0の時矩形波の高さ1/a→+∞に
なります。

δ関数には次の性質があります。
任意の関数f(x)に対して　∫[a-ε,a+ε] δ(x-a)f(x)dx=f(a)
∫[-∞,x]δ(x-a)dx=u(x-a)

δ関数の簡易型表現（便宜的表現）
δ(x)=0(x≠0),δ(x)=＋∞(x=0)
を良く見かけますが、厳密な表現ではありません。
+∞は値ではく限りなく大きくなる状態に過ぎません。

>> p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1を満たしません。
>
>全面積が1(全事象の確率)にならねばならないんですね。

そうです。

F(x)=δ(x)なら
p_X(∞)=∫[-∞,∞] δ(x)dx=1

F(x)=(1/3)δ(x+1)+(1/3)δ(x)+(1/3)δ(x-1)
F(x)=(1/4)δ(x+1)+(1/2)δ(x)+(1/4)δ(x-1)
なども
p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(x)dx=1
を満たします。

また
F(x)=(1/4)δ(x+1)+(1/2)δ(x)+(1/4)δ(x-1)の場合
P(X=-1)=∫[-1-ε,-1+ε] F(x)dx
=∫[-1-ε,-1+ε] (1/4)δ(x+1)dx=1/4
P(X=0)=∫[-ε,+ε] F(x)dx
=∫[-ε,+ε] (1/2)δ(x+1)dx=1/2
などとなりますね。ここでεは任意の小さな正数とします。

参考URL：

http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/distribution.html

お礼

δ関数についてのご説明誠に有難うございます。
少し勉強してみたいと思います。

回答No.2

info22

#1です。
補足します。

あなたが外国で受講している？授業での英語とそれに対応する日本語にずれがあると、日本語サイトを参照すると混乱する恐れがありますので
注意して下さい。英語の実質的な意味を考えて、日本語サイトの用語を正しく対応させて、日本語サイトを見たり、ここの質問で正しい和訳を使うように注意してください。

前質問QNo.3755262での
p(x) ← 確率　？
この質問の
p_X(x)　← pmf　（累積分布関数,確率分布関数）
F(x)　　← pdf　 (確率密度関数)
の違いを正しく把握しておいて下さい。

しかし、あなたが学んでいる講義では、離散分布の場合
p(x)とp_X(x)を明確に区別して扱っていない（定義が不明確）ようにも
思われます。
その差が
p(x)=1/3(x=1)
日本(あなたの授業が特異かも知れません？)では
p(x) or f(x) = (1/3)δ(x-1) …確率密度関数として扱う場合
P(a≦x≦b)=∫[a,b] p(x)dx
P(1-0≦X≦1+0)=1/3=P1 …離散分布の場合
など

Pi=1/3 (i=1) or P1=1/3 …離散分布の確率として扱う場合
Σ(i) Pi =1
と表現することが殆どですね。

日本で使われている記号と異なるようです。
日本語では
p(x)やf(x)が pdf（確率密度関数）
PやPrやP(a≦X≦b)、Pi(i=1,2,3,…)が確率
F(x)がpmf（累積分布関数or確率分布関数）
の記号として使われる
ことが多いです。
質問者さんの英語の問題のような使い方は日本では殆ど使われていません。日本語サイトを参考にするときにこのような記号の使い方の
違いに注意されると良いでしょう。

補足

大変有難うございます。

>>「[問]p_X(x)を確率変数Xの確率質量関数とする。
>> Xの累積分布関数F(x)を求め
> 和訳が間違っています。
> pmfが確率分布関数（累積分布関数）
> pdfが確率密度関数です。

失礼致しました。

> 回答はδ関数（Dirac delta function）を使って書くといいでしょう。
> pmf,pdfの定義に従って計算するだけの問題です。
> F(x)=d(p_X(x))/dx
> or
> p_X(x)=∫[-∞,x]F(t)dt
> p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1
> で解いて下さい。
> 定義や和訳の対応を正しく勉強して下さい。

はい。何とかやってみます。

>＞[(1)の解]
> ＞F(x)=
> ＞1 (t=0の時)
> ＞0 (t<0の時)
> ＞0 (t>0の時)
> ↑この書き方とtは間違いです。
> p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1を満たしません。

全面積が1(全事象の確率)にならねばならないんですね。

> 正解は　F(x)=δ(x)

δ(x)は0で∞,それ以外で0という関数ですよね。
jump関数を微分したらδ関数になるのですよね。
F(x)=d/dxp_X(x)=d/dxJ(x)=δ(x)と書いてもいいのでしょうか?

> 正解は　F(x)=(1/3)δ(x+1)+(1/3)δ(x)+(1/3)δ(x-1)
：
> 正解は
> F(x)=(1/15)δ(x-1)+(2/15)δ(x-2)+...+(1/3)δ(x-5)

何となく分かってきました。

> 「...」のところは分かりますね。

はい。3/15δ(x-3)+4/15δ(x-4)ですね。

> 注意して下さい。英語の実質的な意味を考えて、
> 日本語サイトの用語を正しく対応さ
> せて、日本語サイトを見たり、
> ここの質問で正しい和訳を使うように注意してください。

なるべく早く慣れるようにします。

> 前質問QNo.3755262での
> p(x) ← 確率　？
> この質問の
> p_X(x)　← pmf　（累積分布関数,確率分布関数）
> F(x)　　← pdf　 (確率密度関数)
> の違いを正しく把握しておいて下さい。

p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1で何となくp_X(x)の意味が分かってきました。

> その差が
> p(x)=1/3(x=1)
> 日本(あなたの授業が特異かも知れません？)では
> p(x) or f(x) = (1/3)δ(x-1) …確率密度関数として扱う場合
：
> Pi=1/3 (i=1) or P1=1/3 …離散分布の確率として扱う場合
> Σ(i) Pi =1
> と表現することが殆どですね。

大文字・小文字で使い分けするんですね。

> イトを参考にするときにこのような記号の使い方の
> 違いに注意されると良いでしょう。
アドバイス有難うございます。

回答No.1

info22

>「[問]p_X(x)を確率変数Xの確率質量関数とする。Xの累積分布関数F(x)を求め

和訳が間違っています。
pmfが確率分布関数（累積分布関数）
pdfが確率密度関数です。

回答はδ関数（Dirac delta function）を使って書くといいでしょう。

pmf,pdfの定義に従って計算するだけの問題です。
F(x)=d(p_X(x))/dx
or
p_X(x)=∫[-∞,x]F(t)dt
p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1

で解いて下さい。
定義や和訳の対応を正しく勉強して下さい。

＞[(1)の解]
＞F(x)=
＞1 (t=0の時)
＞0 (t<0の時)
＞0 (t>0の時)
↑この書き方とtは間違いです。
p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1を満たしません。
正解は　F(x)=δ(x)

>[(2)の解]
>F(x)=
>0 (x<-1の時)
>1/3 (x=-1の時)
>0 (-1<x<0の時)
>1/3 (x=0の時)
>0 (x=0の時)
>1/3 (x=1の時)
>0 (x>1の時)
↑この書き方は間違いです。p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1を満たしません。
正解は　F(x)=(1/3)δ(x+1)+(1/3)δ(x)+(1/3)δ(x-1)

>[(3)の解]
F(x)=
>0 (x<1の時)
>1/15 (x=1の時)
>0 (1<x<2の時)
>2/15 (x=2の時)
>0 (2<x<3の時)
>1/5 (x=3の時)
>0 (3<x<4の時)
>4/15 (x=4の時)
>0 (4<x<5の時)
>1/3 (x=5の時)
>0 (x>5の時)
↑この書き方は間違いです。p_X(∞)=∫[-∞,∞]F(t)dt=1を満たしません。
正解は
F(x)=(1/15)δ(x-1)+(2/15)δ(x-2)+...+(1/3)δ(x-5)

「...」のところは分かりますね。